|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, из неверного данного факта следует любой неверный вывод. Отсюда, любой неверный вывод может быть аргументирован лишь фактами, из которых один и более ложны.
И вот, буквально сегодня, мне пришло в голову опровержение этого построения.
Предположим, передо мной мороженое, 200гр пломбира. Это одна порция. Порция - это то количество мороженого, которое нужно одному человеку.
Я - человек. Мне нужно 150гр мороженого. Это порция, исходя из вышесказанного. Порция=порция, отсюда 200гр=150гр. Это неверно. Значит, исходя из тезиса в первом абзаце, один из моих фактов (выделены красным) ложен. Но какой? Мне кажется, что всё верно.
Хотелось бы услышать мнения. |
|
|
| |
|
|
| Gambitchik: Как известно, из неверного данного факта следует любой неверный вывод. |
Более интеренсно, что из неверных посылок может следовать верный вывод.
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-244 |
|
|
|
|
Gambitchik:Предположим, передо мной мороженое, 200гр пломбира. Это одна порция.
Порция - это то количество мороженого, которое нужно одному человеку.
|
Элементарно, здесь два взаимоисключающих определения порции, либо "200гр", либо "одному человеку", и то ещё надо уточнить какому. 
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-245 |
|
|
|
|
Взаимоисключающих??? А может быть, взаимодополняющих... То есть, при одновременном наличии и того и другого факта они оба становятся ложными?
__________________________
Девять - смертным, чей выверен срок и удел |
|
|
| номер сообщения: 49-3-246 |
|
|
|
|
Quantrinas: | Gambitchik: Как известно, из неверного данного факта следует любой неверный вывод. |
Более интересно, что из неверных посылок может следовать верный вывод.
|
А вот это тоже опровержимо 
1. Из неверных предпосылок могут быть сделаны верные выводы =>
2. Верные выводы могут быть сделаны из неверных предпосылок =>
3. Верные выводы могут следовать из любых предпосылок
Отсюда, принимая во внимание то, что верные выводы являются противоположностью неверных, получаем:
4. Неверные выводы не могут быть сделаны из каких-либо предпосылок.
Бред какой-то! Где тут ошибка?
Не думайте, что это примеры из какой-нибудь книжки 
Просто логические построения... Было бы интересно услышать чужие мысли. Или один я такой дурак?
P.S.: А, понял. Вывод автоматически подразумевает предпосылку.
P.S.S.: Нет, я лишь определил неправильность 4. Хотелось бы услышать мнение уважаемого Quantrinas'a. Тут что "элементарно"? 
__________________________
Девять - смертным, чей выверен срок и удел |
|
|
| номер сообщения: 49-3-247 |
|
|
|
|
Я не спец по логике, так что аксиоматический подход развивать не буду.
Давайте просто пойдём по пунктам.
Gambitchik:
1. Из неверных предпосылок могут быть сделаны верные выводы =>
|
Да, могут - это, если угодно, эмпирический факт.
2. Верные выводы могут быть сделаны из неверных предпосылок =>
|
Пункт 2 по-моему тождественен пункту 1.
3. Верные выводы могут следовать из любых предпосылок
|
Логично!
Отсюда, принимая во внимание то, что верные выводы являются противоположностью неверных, получаем:
4. Неверные выводы не могут быть сделаны из каких-либо предпосылок.
Бред какой-то! Где тут ошибка?
|
"Противоположность" означает только то, что вывод является либо верным, либо неверным. Пусть A - любая (произвольная) предпосылка, B - верный вывод, C - неверный вывод.
Пункт 3 означает A => B (=> означает МОЖЕТ следовать, а может и НЕ следовать, и не более того), далее A неравно B, но почему отсюда НЕ МОЖЕТ следовать A => C (то есть неверный вывод из любой предпосылки)?
Если вы скажете, что из ВСЕХ предпосылок множества A следует B, давайте обозначим это A ==> B, вот тогда пункт 4 будет правильным в форме
4. Неверные выводы не могут быть сделаны из каких-либо предпосылок множества A.
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-253 |
|
|
|
|
Quantrinas:
4. Неверные выводы не могут быть сделаны из каких-либо предпосылок множества A.
|
та невже? :)
__________________________
Шахматная партия не лотерея. Проблему мотивации решает НОКАУТ |
|
|
| номер сообщения: 49-3-254 |
|
|
|
|
Да, пункт 2 тождественен пункту 1.
А вот Ваши рассуждения с множествами несколько не понял. Можно другими словами? Запутался 
__________________________
Девять - смертным, чей выверен срок и удел |
|
|
| номер сообщения: 49-3-255 |
|
|
|
|
Gambitchik:А вот Ваши рассуждения с множествами несколько не понял. Можно другими словами? Запутался
|
Можно.  Ключевое слово - может, не должно, не обязано. То есть, из какой-то предпосылки может следовать и верный вывод, и неверный. Нет жёсткой связи. Поэтому никакого определённого вывода, типа вашего пункта 4 сделать нельзя.
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-256 |
|
|
|
|
Quantrinas, спасибо. Постараюсь еще что-нибудь опровергнуть, а Вы опровергните меня.
__________________________
Девять - смертным, чей выверен срок и удел |
|
|
| номер сообщения: 49-3-257 |
|
|
|
|
Gambitchik: Quantrinas: | Gambitchik: Как известно, из неверного данного факта следует любой неверный вывод. |
Более интересно, что из неверных посылок может следовать верный вывод.
|
А вот это тоже опровержимо
1. Из неверных предпосылок могут быть сделаны верные выводы =>
2. Верные выводы могут быть сделаны из неверных предпосылок =>
3. Верные выводы могут следовать из любых предпосылок
Отсюда, принимая во внимание то, что верные выводы являются противоположностью неверных, получаем:
4. Неверные выводы не могут быть сделаны из каких-либо предпосылок.
Бред какой-то! Где тут ошибка?
|
Долго думал...
Кажется, так.
Рассмотрим последовательность высказываний 1-4 в контексте индуктивных и дедуктивных логических операций.
Используя индуктивные логические операции верный вывод можно получить только на множестве истинных высказываний (предпосылок).
Для дедуктивных логических операций умножения верные выводы могут быть сделаны также только на основе высказываний, каждое из которых верно.
Т.е., для индукции и дедукции (умножения) последовательность 1-4 выстроена быть не может.
Дедуктивные логические операции сложения допускают получение верных выводов на основе высказываний, когда
а) все посылки истинны
б) часть посылок истина, часть ложна
и не допускают, когда все посылки ложны, т.е. предложение «Из неверных предпосылок могут быть сделаны верные выводы» не истинно и последовательность 1-4 не может быть выстроена.
Конечно, верный вывод может быть получен и в том случае, когда все посылки ложны. Пример: «Все дубы – полковники КГБ. Вова – дуб. Следовательно, Вова – полковник КГБ» Обе посылки ложны, но при этом Вова действительно может быть полковником КГБ, а может и не быть. Т.е. здесь получение верного или неверного вывода не закономерно, а случайно. Соответственно, и все цепочки рассуждений на основе таких случаев носят вероятностный, а не строгий характер.
Для дедуктивных логических операций сложения правильно сказать так:
1. Из предпосылок, часть из которых истинна, часть – ложна, могут быть сделаны верные выводы =>
2. Верные выводы могут быть сделаны из предпосылок, часть из которых истинна, часть – ложна (предложение, эквивалентное первому) =>
3. Утверждение «Верные выводы могут следовать из любых предпосылок» сделать не можем – расширение на множество любых предпосылок некорректно.
Соответственно, предложение 4 на основе предложения 3 построить не можем. На основе предложения 2 можем. Используя правило: «истинное высказывание после двукратного отрицания – истинное высказывание», получим:
4. Неверные выводы не могут быть сделаны из предпосылок, часть из которых истинна, часть – ложна. |
|
|
| номер сообщения: 49-3-264 |
|
|
|
|
Запутали себя в 3-ёх соснах :-(
1. Сначала под словом "вывод" подразумевали, как обычно - правильный вывод. Тогда, естественно, из верных утверждений можно вывести только верные.
2. Потом понятие "вывод" "расшрили" - до любых умозаключений. Тут, естественно, может получиться что угодно.
3. Незнание простейших законов логики(даже определений). Из ложной посылки следует что угодно. Почему:
Импликация (А->В)по определению есть (не А или В). Если А неверно, то верно (не А) и тем более (не А или В). |
|
|
| номер сообщения: 49-3-265 |
|
|
|
|
Grigoriy, в своём утверждении
| Из неверных посылок может следовать верный вывод. |
я не имел ввиду формальную логику, однако и Вы вроде с этим согласны
| Grigoriy: Из ложной посылки следует что угодно. |
|
|
|
| номер сообщения: 49-3-266 |
|
|
|
|
Колмогоров в своё время описал формально женскую логику:
((А ->В) & (В приятно)) -> А |
|
|
| номер сообщения: 49-3-267 |
|
|
|
|
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-268 |
|
|
|
|
Григорий, не понял. Ничего не понимаю.
__________________________
Девять - смертным, чей выверен срок и удел |
|
|
| номер сообщения: 49-3-269 |
|
|
|
|
Чего Вы не поняли? Попытаюсь более подробно. У Вас с самого начала нечёткость, думаю - просто неграмотность :-(
Фактов неверных не бывает. По определению. Факт он и есть факт. Вы видимо имели ввиду неверное предположение как основу для дальнейших выводов. В таком случае по правилам логики формально из неверного положения можно вывести что угодно - что следует непосредственно из самого определения формального вывода(как я и обьяснил уже в 12).
В то время как Вы сказали, что из неверного допущения следует неправильный вывод. Формально это верно, но неполно - следует вообще чо угодно - т е если Вы исходите из того, что скажем я играю в силу гроссмейстера - отсюда следует, что Каспаров - в силу перворазрядника, или даже вообще не умеет.
Неформально же говоря, Вашши слова имеют смысл и даже верны в определённом смысле - но который Вы видимо не имели ввиду.
Возвращаясь же строго к Вашему первоначальному посту, ошибка Вашего "рассуждения" очевидна. Формальная логика оперирует со строго определёнными, неизменными обьектами.
У Вас же и слово "порция" меняет смысл в пределах "рассуждения", и смысл слова "нужно" тоже неопределён и изменчив. |
|
|
| номер сообщения: 49-3-270 |
|
|
|
|
Понятно... А что там с жеснской логикой?
__________________________
Девять - смертным, чей выверен срок и удел |
|
|
| номер сообщения: 49-3-271 |
|
|
|
|
Grigoriy, а нельзя ли дать хорошую и понятную ссылку на тему формальной логики?
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-272 |
|
|
|
|
| Если из предположения получаются приятные мне следствия, то предположение - верно |
|
|
| номер сообщения: 49-3-273 |
|
|
|
|
Приведу начало классического текста: Введения к "Математической логике" Чёрча
"Это введение содержит некоторые предварительные пояснения,
которые представляется наиболее уместным поместить вначале,
хотя многие из них приобретут полную ясность лишь в свете
дальнейшего формального изложения. Читателю, не знакомому
с предметом, рекомендуется прочесть это введение, а затем вновь
вернуться к нему после изучения нескольких первых глав книги.
Подстрочные примечания при первом чтении могут быть, как
правило, впущены.
00. Логика. Предмет нашего изучения есть логика, или, говоря
более точно, чтобы отличить этот предмет от других теорий и
учений, которые (к сожалению) тоже назывались этим именем, —
формальная логика.
Обычно (формальная) логика занимается анализом предло-
предложений или суждений1' и доказательств2»; при этом основное
внимание обращается на форму в отвлечении от содержания
{mattery. Сейчас было бы нелегко точно определить различие
между формой и содержанием, но его можно пояснить на примерах.
В качестве примера возьмем следующее сравнительно про-
простое рассуждение.
I. Братья носят одну и ту же фамилию; Ричард и Стенли —
братья; Стенли носит фамилию Томсон; следовательно,
Ричард носит фамилию Томсон.
В повседневном обиходе первая из трех посылок <premisses3)>
этого рассуждения не была бы, вероятно, явно сформулирована,
по крайней мере до тех пор, пока не возникли бы сомнения в пра-
правильности рассуждения; но для целей логического анализа все
посылки должны быть сформулированы явно. Это рассуждение
верно, так сказать, в силу одной своей формы, независимо от
содержания, независимо, в частности, от того, истинны ли или
ложны взятые сами по себе посылки и заключение. Рассуждение
может быть верным несмотря на то, что утверждения, из которых
оно построено, ложны, и как раз тогда, когда мы констатируем
эту независимость, мы и отделяем форму от содержания.
Для сравнения с предыдущим примером рассмотрим еще такой.
Комплексные числа, отношение которых есть действитель-
действительное положительное число, имеют один и тот же аргумент;
i — У3/3 и со суть комплексные числа, отношение которых
есть положительное действительное число; аргумент со
равен 2я/3; следовательно, аргумент i — J/3/3 равен 2я/3.
Про рассуждение II можно сказать, что форма его совпадает
с формой рассуждения I, хотя содержание этих рассуждений раз-
различно, и что II, подобно I, истинно в силу одной только своей
формы.
Текстуальное сходство в формулировках примеров I и II,
достигнутое, правда, за счет некоторой неестественности языка,
подчеркивает тождественность их формы. Однако в общем случае
такой словесный параллелизм не может (по крайней мере в обыч-
обычных языках) служить надежным свидетельством тождественности
логической формы. Это и понятно: все обычные языки на протя-
протяжении длительных исторических периодов развивались под влия-
влиянием практических потребностей легкости общения, а это не
всегда совместимо с точностью и надежностью логического ана-
анализа.
Для иллюстрации этого приведем два следующих примера.
III. Я видел портрет Джона Уилкиса Буса*>; Джон Уилкис
Бус убил Авраама Линкольна; следовательно, я видел
портрет убийцы Авраама Линкольна.
IV. Я видел портрет кого-то (somebody); кто-то (somebody)
изобрел телегу; следовательно, я видел портрет изобре-
изобретателя телеги.
Рассуждение III несомненно правильно и притом, по-видимому,
в силу одной своей логической формы; рассуждение же IV не-
неверно. Внешнее языковое сходство этих двух рассуждений ока-
оказалось обманчивым. В данном случае ошибка быстро обнаружи-
обнаруживается, когда мы, не ограничиваясь этим внешним сходством,
обращаемся к содержанию, но можно привести более тонкие
примеры, когда более правдоподобна возможность возникновения
действительных недоразумений. По этой причине желательно,
даже практически необходимо, употреблять для логических целей
специально созданный язык — формализованный язык, как мы
его будем называть, — который, в противоположность обычному
языку, будет следовать за логической формой и воспроизводить
ее даже в ущерб краткости и легкости общения, если это будет
необходимо. Введение особого формализованного языка означает,
*) Бус (Booth, John Wilkes) A839—1865) — американский актер, убив-
убивший Линкольна. — Прим. ред.
следовательно, принятие и особой теории, или системы, логического
анализа. (Это и нужно считать главной отличительной чертой
формализованного языка, а вовсе не то, что оказалось удобным
заменить отдельными буквами и различными специальными сим-
символами слова, которые в письменности большинства обычных
языков составляются из многих букв. Эта замена, хотя она и
бросается сразу в глаза, теоретически менее важна.)
01. Имена. В формализованные языки мы перенесем из язы-
языков обычных один широко распространенный там тип выражений,
а именно собственные имена (proper names}. К их числу мы отно-
относим не только собственные имена, по произволу предназначаемые
для непосредственного обозначения предмета (такие, например,
как „Рембрандт", „Каракас", „Сириус", „Миссисипи", „Одиссея",
„восемь"), но и такие имена, которые обладают строением, отра-
отражающим тот способ, которым они обозначают предмет4'. В ка-
качестве примера для имен второго рода возьмем „пятьсот девять".
Это имя, обозначающее некоторое простое число и притом таким
способом, который выражается в языковом строении имени:
„предмет, являющийся пятью сотнями плюс девять". Еще пример:
„автор Вэверлея". Это имя, обозначающее известного шотланд-
шотландского писателя -— сэра Вальтера Скотта. Специфический способ
обозначения предмета, отраженный в языковом строении этого
имени, состоит в указании на то, что предмет написал Вэверлея.
„Родина Рембрандта", „столица Венецуэлы", „куб числа два"
служат дальнейшими примерами имен этого рода.
В обычных языках не всегда легко различить эти два рода
имен: с одной стороны, имен, которым произвольно приписано
определенное значение (в формализованных языках мы их будем
называть исходными собственными именами), и, с другой стороны,
имен, построенных из осмысленных элементов. Так, например,
в греческом языке „Одиссея" есть производное от имени „Одиссей",
и неясно, принадлежит ли эта этимология целиком прошлому
или мы должны считать, что и в современном языке „Одиссея"
обладает строением, включающим имя „Одиссей". Эта неопреде-
неопределенность устраняется в формализованном языке тем, что правила
конструирования имен точно фиксируются и явно формулируются
(§ 07).
До сих пор нет общепризнанной теории содержания (meaning)
собственных имен. Подробное рассмотрение этого вопроса вы-
вывело бы нас далеко за предполагаемые рамки книги, но все же
необходимо, хотя бы в общих чертах, обрисовать теорию, которую
мы примем. Эта теория принадлежит в основном Фреге5'.
Наиболее важным ее положением является то, что собственное
имя всегда есть или, по крайней мере, всегда считается чьим-то
именем. Мы будем говорить, что собственное имя обозначает®,
2 2007 -
называет1'1, то, чьим именем оно является. Отношение между
собственным именем и тем, что оно обозначает, будет называться
отношением называния®, а вещь8), обозначаемая этим именем,
будет называться денотатом (denotation}, или предметом имени.
Так, например, мы будем говорить, что собственное имя „Рем-
„Рембрандт" обозначает, или называет, голландского художника
Рембрандта, а сам он будет называться денотатом имени „Рем-
„Рембрандт". Аналогично имя „автор Вэверлея" обозначает, или назы-
называет, шотландского автора, а он есть денотат как этого имени,
так и имени „сэр Вальтер Скотт".
На примерах собственных имен, имеющих один и тот же де-
денотат, но в некотором смысле различное содержание, можно
видеть, что содержание собственного имени не исчерпывается
его денотатом. Так, имена „сэр Вальтер Скотт" и „автор Вэверлея"
имеют один и тот же денотат, однако в содержании первого имени
в отличие от второго заключено, что обозначаемое лицо было
рыцарем или баронетом, что оно носило имя Вальтер и фамилию
Скотт10», в содержании же второго, в отличие от первого, заклю-
заключено, что названное лицо написало Вэверлея* Для того чтобы
еще резче выявить различие в содержании двух рассматриваемых
имен, заметим, что если два имени являются синонимами (имеют
во всех отношениях одно и то же содержание), то всегда можно
одно заменить другим, не меняя содержания целого. Однако
предложения „сэр Вальтер Скотт является автором Вэверлея"
и „сэр Вальтер Скотт является сэром Вальтером Скоттом" имеют
совершенно различное содержание: первое предложение сооб-
сообщает важный факт литературной истории, на который во втором
нет никакого намека. Это различие в содержании может в некото-
некоторых случаях привести к нарушению истинности при замене
одного имени другим11'. Так, например, верно, что „Георг ^од-
^однажды хотел узнать, является ли Скотт автором Вэверлея", и
ложно, будто бы „Георг IV однажды хотел узнать, является ли
Скотт Скоттом2'.
Поэтому мы припишем каждому собственному имени, помимо
денотата, еще другой род содержания — его смысл (senselz)} и
будем, к примеру, говорить, что „сэр Вальтер Скотт" и „автор
Вэверлея" имеют один и тот же денотат, но различный смысл14'.
Грубо говоря, смысл — это то, что бывает усвоено, когда понято
имя16', так что возможно понимать смысл имени, ничего не зная
о его денотате, кроме того, что он определяется этим смыслом.
В частности, для того чтобы вопрос „является ли сэр Вальтер
Скотт автором Вэверлея" был разумной просьбой о новой инфор-
* В подлиннике далее следует (приводим в переводе): „И является даже
единственным автором ввиду определенного артикля („автор Вэверлея" —
по-английски „the author of Waverly"} и того обстоятельства, что эта фраза
введена как собственное имя". — Прим. перев.
мации, нужно, чтобы спрашивающий понимал смысл имен „сэр
Вальтер Скотт" и „автор Вэверлея" и не был осведомлен об их
денотатах достаточно для того, чтобы с уверенностью отожде-
отождествить их.
Мы будем говорить, что имя обозначает, или называет, свой
денотат и выражает его смысл16'. Мы можем сказать и короче,
что имя имеет данный денотат и имеет данный смысл. О смысле
мы говорим, что он определяет денотат или что он есть концепт1™
этого денотата.
В одном или различных языках различные имена могут быть
синонимами и выражать один и тот же смысл, или концепт. С дру-
другой стороны, одно имя в различных языках или даже в одном
языке (при омонимии) может выражать разный смысл. Поэтому
мы представляем себе концепты имеющими неязыковую природу17'.
Мы даже готовы допустить существование концептов таких
вещей, которые не имеют имени ни в одном из ныне существующих
языков. Но каждый концепт некоторой вещи есть или, по крайней
мере, может быть смыслом некоторого ее имени в некотором (быть
может, только мыслимом) языке.
Мы должны признать возможным существование концептов,
которые не являются концептами никакой реально существующей
вещи, и существование имен, которые выражают смысл, но не
имеют денотата. Такие имена (или, по крайней мере, имена, до-
допускающие соответствующую достаточно правдоподобную интер-
интерпретацию) существуют в большинстве обычных языков: например
„Пегас8', „король, правивший во Франции в 1905 году". Но,
как заметил Фреге, при построении формализованного языка
можно избежать введения подобных имен19', и часто это действи-
действительно удобно сделать.
Мы будем предполагать, что полное понимание языка требует
знания смыслов всех слов языка, но не требует обязательного
знания того, какие смыслы определяют один и тот же денотат,
или даже того, какие смыслы вообще определяют какой-либо
денотат.
Во всяком хорошо построенном языке каждое имя должно
было бы, конечно, иметь точно один смысл, и мы намерены обеспе-
обеспечить эту однозначность в формализованных языках. В обычных
же языках дело обстоит вовсе не так. В частности, как отметил
Фреге, в обычных языках, как правило, наряду с прямым (ordinary,
нем. gewdhnlich) употреблением имени возможно еще и косвенное
Oblique, нем. ungerade}, когда денотатом имени становится то,
что было смыслом при прямом употреблении имени20'.
Предполагая однозначность в употреблении имен достигнутой
в конечном счете потребует отказа от косвенного употребления
за счет введения специальных имен для обозначения смысла,
фажаемого другими именами21'), мы вместе с Фреге сделаем
2*
следующие допущения о составных именах, являющихся языко-
языковыми конструкциями и содержащих другие имена в качестве
составляющих частей: A) смысл составного имени не меняется,
если одно из входящих в него составляющих имен заменить другим
с тем же, что у заменяемого, смыслом; B) денотат составного
имени не меняется, если одно из входящих в него составляющих
имен заменить другим с тем же, что у заменяемого, денотатом
(хотя смысл может и изменитьсяJ2'.
Мы сделаем явно также следующее допущение, имеющееся
у Фреге, которое, подобно A) и B), было неявным в предшествую-
предшествующем рассмотрении: C) если имя имеет денотат, то этот денотат
есть функция смысла имени (см. ниже § 03), т. е. если дан смысл,
то этим определяется существование и единственность денотата,
хотя он и не обязательно должен быть известен каждому знающему
смысл.
02. Константы и переменные.! В математике принято назы-
называть собственные имена чисел константами. Мы перенесем этот
термин в формализованные языки, не ограничивая его, однако,
числами: термин константа будет синонимом для выражения
„собственное имя, имеющее денотат".
Но термин константа будет часто употребляться и при по-
построении неинтерпретированных исчислений (логистических систем
в смысле § 07); когда некоторые символы и выражения будут вы-
выделяться в качестве констант единственно для того, чтобы рас-
рассматривать их отдельно от остальных при задании правил исчис-
исчисления. В действительности символы или выражения, выделенные
таким образом в качестве констант, будут обычно оказываться
собственными именами (имеющими денотат) хотя бы в одной из
возможных интерпретаций исчисления.
Как и обычно в математике, переменная есть символ, содержа-
содержание которого совпадает с содержанием собственного имени, или
константы, за исключением лишь того, что единственный денотат
константы заменен здесь возможностью различных значений
переменной.
Так как обычно необходимо ограничивать значения, которые
может принимать переменная, то мы будем считать, что с перемен-
переменной связана непустая область ее возможных значений. Поэтому
к содержанию переменной относится в некотором смысле и содер-
содержание собственного имени области ее значений23'. Однако пере-
переменную нельзя отождествлять с собственным именем области ее
значений, так как между их содержаниями имеются и разли-
различия24».
Что такое переменная, выясняется легче всего, если прибегнуть
к рассмотрению составных имен, которые содержат другие имена
в качестве составляющих частей. Пусть в таком имеющем денотат
02. Константы и переменные
21
составном имени одно или несколько (не обязательно все) вхож-
вхождения какого-либо составляющего имени заменены некоторой
переменной, скажем х. Чтобы избежать усложнений, допустим,
что иных вхождений х не имеет25' и что денотат заменяемого имени
входит в область значений переменной х. Выражение, получаемое
из составного имени при такой замене одного из составляющих
имен на переменную, мы будем называть формой™. Для каждого
или, по крайней мере, для некоторых значений переменной х из
области ее значений такая форма имеет, или принимает, какое-то
значение. Значением формы для некоторого значения переменной х
является денотат того выражения, которое получается из формы
при подстановке имени данного значения переменной х вместо
всех ее вхождений в форму. (Если же получающееся при этом
выражение не имеет денотата, то для данного значения х форма
значения не имеет.J7' .
Переменная, входящая в выражение (форму) только что опи-
описанным образом, называется свободной переменной2^ этого выра-
выражения (фо,рмы).
Теперь предположим, что составное имя, имеющее денотат,
содержит два составляющих имени, из которых ни одно не является
частью другого, и пусть одно или несколько (не обязательно все)
вхождения каждого из этих составляющих имен заменены пере-
переменными, скажем х и у соответственно. Для простоты будем счи-
считать, что переменные х и у не входят в исходное составное имя и
что в области значений этих переменных входят соответственно
денотаты тех составляющих имен, которые заменяются этими
переменными. Выражение, получающееся при такой подстановке,
называется формой с двумя свободными переменными х и у. Для
определенных пар значений хну, взятых соответственно из их
областей значений, форма имеет, или принимает, некоторое значение.
Значение формы для данных значений х и у — это то же самое,
что денотат того выражения, которое "получается из формы при
подстановке в нее имен данных значений х и у соответственно
вместо всех их вхождений. (Если же получаемое таким образом
выражение не имеет денотата, то для данных значений х и у форма
не имеет значения.)
Тем же путем могут быть получены формы трех, четырех и боль-
большего числа переменных. Если форма содержит одну-единственную
свободную переменную, то мы будем называть ее сингулярной
fingulary21»), если точно две — бинарной, если три — тернарной
и т. д. Форма, содержащая точно п свободных переменных, есть
п-арная форма.
Две формы будут называться равносильными, если они согла-
согласованы по значению для любого распределения значений по
свободным переменным, т. е. если для любого распределения
значений по свободным переменным эти формы либо принимают
одно и то же значение, либо обе не имеют значения. (Так как эти
две формы могут иметь и различные свободные переменные, то
нужно объединить все переменные, имеющие свободные вхожде-
вхождения хотя бы в одну из форм, и рассматривать всевозможные рас-
распределения значений по этой совокупности переменных. Если
значения форм при этом оказываются согласованными, то формы
называются равносильными.) Форма называется равносильной
константе, если при любом задании значений ее свободных пере-
переменных ее значение совпадает с денотатом константы. Две констан-
константы называются равносильными, если они имеют один и тот же де-
денотат.
Используя понятие равносильности, мы можем к допущениям
A)—C) двух последних абзацев § 01 добавить еще четвертое допу-
допущение, или „принцип содержания", которое является распростра-
распространением B) на случай форм: D) если в составной константе или
форме заменить входящую в нее составляющую константу или
форму на другую, равносильную с ней, то получающаяся при
этом составная константа или форма равносильна исходной30'.
Значение этого принципа станет яснее в связи с употреблением
операторов и связанных переменных, которое будет рассмотрено
в § Об. На этот принцип, подобно B), надо смотреть как на часть
наших разъяснений отношения называния и поэтому как на часть
теории содержания.
Как и в случае константы, мы будем употреблять термины
переменная и форма при построении неинтерпретированных ис-
исчислений, вводя их специальными определениями для каждого та-
такого исчисления, в связи с которым они должны будут употребляться.
Обычно именно выделенные таким образом символы и выражения
будут переменными и формами в нашем прежнем смысле в одной
из главных интерпретаций исчисления как языка (см. § 07).
Нужно особо подчеркнуть, что переменная, в нашем употреб-
употреблении этого термина, есть определенного рода символ31', а не вещь
(например, число), которую этот символ обозначает или как-либо
иначе указывает. Математики говорят о „переменных действитель-
действительных числах" или чаще о „переменных величинах", но эти выра-
выражения, видимо, лучше не понимать буквально. Фреге32' убеди-
убедительно сформулировал возражения против идеи, согласно которой
действительные числа должны быть подразделены на два класса,
или сорта: „постоянные действительные числа" и „переменные
действительные числа" — и их незачем повторять здесь33'. Во всяком
случае, никогда еще на этой основе не была построена удовле-
удовлетворительная теория, и нелегко представить себе, как это можно
было бы сделать. " |
|
|
| номер сообщения: 49-3-274 |
|
|
|
|
Из предисловия редактора перевода(Успенского)(видимо, согласованного с Колмогоровым):
"Наиболее замечательным разделом 1-го тома является Введе-
Введение, содержащее систематическое описание основных первичных
понятий математической логики и ее метода. Ясность и последова-
последовательность, с которыми дается это описание, вызывают восхищение.
Выглядит, в частности, очень естественным, что первым рассмат-
рассматривается понятие имени (ведь дальнейшее изложение, каково
бы оно ни было, неизбежно будет употреблять имена упоминае-
упоминаемых объектов; значит, надо прежде всего объяснить, что такое
имя).
Введение можно рассматривать как самостоятельное литера-
литературное произведение и читать само по себе, без установки на
чтение дальнейших глав. Оно может оказаться полезным и доступ-
доступным и такому читателю, которому нет особой нужды или затруд-
затруднительно читать всю книгу. Основные понятия и факты теории
имен, прежде всего различение между предметом, обозначаемым
именем, и смыслом, выражаемым именем, необходимо знать
каждому научному работнику, заинтересованному в уточнении
терминологии своей науки. " |
|
|
| номер сообщения: 49-3-275 |
|
|
|
|
Спасибо, надо будет в сети поискать книгу.
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-3-276 |
|
|
|
|
Grigoriy: Колмогоров в своё время описал формально женскую логику:
((А ->В) & (В приятно)) -> А |
Да, это красиво! Можно не торопясь насладиться!
Вроде согласились (для множества неверных посылок), что
| Из неверных посылок может следовать верный вывод. |
для нестрогих (неправильных) логических операций, конечно.
Осталось (для множества верных посылок):
| Grigoriy: естественно, из верных утверждений можно вывести только верные. |
что верно для дедукции, полной и мат индукции. Но неверно для неполной индукции и множества нестрогих (не дедуктивных) и неправильных логических схем, наподобии приведенной Вами схемы Колмогорова.
В другом варианте: ((А ->В) & (если не А)) -> (не В).
Пример:
А: Реальная сила игры Афро – 2640+.
В: Афро входит в 100 лучших шахматистов мира по рейтингу.
Не А (очевидно  ). Однако В (см. последний рейтинг-лист ФИДЕ  ).
Вот пример неполной индукции, когда из верных посылок получаем неверный вывод (пример средневекового армянского логика Давида Анахта): у лошади, обезьяны, волка и многих животных при еде двигается лишь нижняя челюсть. Вывод: у всех животных при еде двигается нижняя челюсть. Но, оказывается, крокодил жует верхней челюстью.
Таким образом, в обобщении для любых (верных и не верных) логических схем получим:
из любых посылок можно получить любые выводы. 
Что лишний раз подчеркивает ценность строгих логических законов, исключающих случайность и позволяющих получать достоверное знание. В противном случае, не будь их, всей современной науки не существовало бы. |
|
|
| номер сообщения: 49-3-277 |
|
|
|
|
Вот такая вот беда (пример неправильного умозаключения по аналогии).
Джон Смит сначала отбывал воинскую повинность в пехоте, но оказался слишком туп для этого рода войск. В коннице он зарекомендовал себя еще хуже. Оставалось одно – перевести его в другое подразделение. Здесь ему устроили проверку «на смекалку и предприимчивость».
- Скажи мне, - обратился к нему офицер, - что это такое: имеет две подошвы, два каблука и двадцать четыре дырки для шнурков.
Джон Смит напряженно думал около трех минут. На лбу у него выступили мелкие капли холодного пота.
- Не могу знать, сэр, - наконец произнес он.
- Вот чудак, - усмехнулся офицер. – Это же одна пара ботинок! Но продолжим. Скажи, что такое: имеет четыре подошвы, четыре каблука и сорок восемь дырок для шнурков.
Спустя пять минут взмокший от напряжения Джон повторил:
- Не могу знать, сэр...
- М-мда-а... Это же две пары ботинок! Ну, попробуем последний вопрос. Что имеет шесть ног, два рога и в мае летает и жужжит? Если не ответишь, я уж и не знаю, что с тобой делать.
Не долго думая, Джон Смит выпалил:
- Так это ж три пары ботинок, сэр!..
(С. Ликок «Тест») |
|
|
| номер сообщения: 49-3-288 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
