|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Лента.ру порадовала. Как они эту фигню откопали? И ведь не 1 апреля... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4557 |
|
|
|
|
| iourique: Лента.ру порадовала. Как они эту фигню откопали? И ведь не 1 апреля... |
А чего не так?
Прочитал про гипотезу, милая гипотеза. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4558 |
|
|
|
|
| Гипотеза отличная. Доказательство - фуфло, причем полное. Забавно, что автор статьи - ученик Коллатца, автора гипотезы. Профессор, книжки писал. Правда, ему 75, но это же не повод. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4560 |
|
|
|
|
http://mathlesstraveled.com/2011/06/04/the-collatz-conjecture-is-safe-for-now/
| A few days ago John Cook reported a draft paper claiming to solve the Collatz conjecture. Of course, since the Collatz conjecture is so simple to state, it constantly attracts tons of would-be solvers, and most of the purported “proofs” they generate are not even worth mathematicians’ time to look at. So why should this one be different? Well, on the surface, it seemed to be a much more serious attempt than the vast majority. Of Scott Aaronson’s Ten Signs a Claimed Mathematical Breakthrough is Wrong, this paper exhibited only #6 (jumping straight into technical material without presenting a new idea) and #10 (using techniques that seem too wimpy). But #6 could just be due to poor organization of the paper, and #10 is not obvious until you get to the end. But — and you knew this was coming — it is wrong. I’ve spent several hours over the past few days reading over the paper and came to this conclusion independenly — and then found several other people who had come to the same conclusion, for the same reason. |
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-4561 |
|
|
|
|
"Угасла нива..."
С возрастом акценты смещаются. Сейчас, когда я слышу математическое утверждение, мне хочется понять, какая за ним стоит "философия". Речь, в данном случае, идет о просто формулируемых и понятных утверждениях теории чисел.
Например, утверждение о том, что любое четное число может быть представлено в виде суммы двух простых. (Мы об этом как-то здесь поговорили).
Для чего и для кого важно решение вопроса о справедливости этой гипотезы?
Есть формальное определение того, что такое "четное число", что такое "простое число"... Что, разные числа, понимаемые как разные "количества" имеют разное значение и разный статус в устройстве этого мира? (Кажется, возможны миры, где такого понятия, как наше "количество", вообще не существует). Вопрос предполагает большие числа. Что касается "маленьких", они могут лежать в основе алгоритмов, по которым идет развитие мира.
А утверждения, подобные приведенному, интересны как раз для больших чисел (для всех!); поскольку для небольших они просто проверяются.
В этой связи, интересно, что доказательства (или попытки доказательств) просто и понятно формулируемых утверждений теории чисел используют термины и факты из специальных областей математики, которые людям без соответствующей подготовки не понятны. В отличие от самих утверждений. Почему так? Это - "извивы" развития математических наук или такое явление отражает какую-то сложную для понимания реальность,связанную с глобальным устройством нашего мира?
Вот цитата из статьи о гипотезе Коллатца:
"Главным инструментом, который использовал Опфер при решении задачи, были операторы на пространстве голоморфных функций - объекты из совершенно другой области математики, имеющей дело с комплексными числами и функциями от них."
Если говорить о представлении четного числа в виде суммы двух простых, то имеет ли смысл такой подход: оценить вероятность того, что гипотеза справедлива (используя, например, теоремы о количестве простых чисел и утверждения о том, как распределены простые числа)...
Ну, прокомментируйте сказанное как-нибудь, пожалуйста.
Обругайте, хотя бы. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4583 |
|
|
|
|
Вроде уже обсуждалось. Дело в том что естественной операцией для простых чисел является умножение. Например, утверждение, что любое число представляется в виде произведения простых чисел совершенно элементарно. А вот сложение не является естественной операцией для простых чисел. Отсюда и все сложности.
Что же до гипотезы Коллатца, то там какое-то нерегулярное отображение. Чёрт ногу сломит. Я так в детстве спалил старый советский программируемый калькулятор. Вроде такого
Задал ему сложную рекуррентную зависимость и на третий день непрерывных расчётов он не выдержал. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4584 |
|
|
|
|
| То, что любое непростое число представимо в виде суммы простых, тоже не сложно, кажется. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4585 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: То, что любое непростое число представимо в виде суммы простых, тоже не сложно, кажется. |
гипотеза Гольдбаха
| проблема Гольдбаха далека от решения |
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-4586 |
|
|
|
|
MikhailK: | Sad_Donkey: То, что любое непростое число представимо в виде суммы простых, тоже не сложно, кажется. |
гипотеза Гольдбаха
| проблема Гольдбаха далека от решения |
|
Я же не сказал: "двух простых". |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4587 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: Я же не сказал: "двух простых". |
Ну тогда это уж слишком элементарно.
Upd. А, я наконец понял. В своём первоначальном сообщении я совсем не предполагал представлять простое число в виде суммы простых. Я всего лишь указывал, что задачи где требуются свойства простых чисел относительно сложения крайне сложны. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4588 |
|
|
|
|
| Ну, что делать. Представимо в виде произведения простых, представимо в виде суммы простых. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4589 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: Для чего и для кого важно решение вопроса о справедливости этой гипотезы? |
Это сложный вопрос и, в целом, как мне кажется, вредный (в том смысле, что лучше им не задаваться). По двум причинам: 1) нам не дано предугадать, чем... и т.д. и т.п. - факт, кажущийся бессмысленным сегодня, может оказаться ключевым завтра; 2) человеческое любопытство следует поощрять, даже когда его цели неясны, просто потому, что это наше определяющее качество. (Это относится не только к математике - с тем же успехом можно спросить, надо ли строить коллайдеры.) При всем этом, у специалистов обычно есть идеи о некотором общем направлении науки и, соответственно, о том, что интересно, а что нет. Я, к сожалению, в теории числе совсем не разбираюсь.
| В этой связи, интересно, что доказательства (или попытки доказательств) просто и понятно формулируемых утверждений теории чисел используют термины и факты из специальных областей математики, которые людям без соответствующей подготовки не понятны. В отличие от самих утверждений. Почему так? Это - "извивы" развития математических наук или такое явление отражает какую-то сложную для понимания реальность,связанную с глобальным устройством нашего мира? |
Мне кажется, что вера в то, что легко описываемое явление обязано иметь простое объяснение - наивна. По-моему, она даже противоречит нашей сегодняшней картине мира  .
| Если говорить о представлении четного числа в виде суммы двух простых, то имеет ли смысл такой подход: оценить вероятность того, что гипотеза справедлива (используя, например, теоремы о количестве простых чисел и утверждения о том, как распределены простые числа)... |
Конечно. Этим активно занимаются. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4590 |
|
|
|
|
iourique:| Если говорить о представлении четного числа в виде суммы двух простых, то имеет ли смысл такой подход: оценить вероятность того, что гипотеза справедлива (используя, например, теоремы о количестве простых чисел и утверждения о том, как распределены простые числа)... |
Конечно. Этим активно занимаются. |
именно об этом в Вики и написано
| In 1975, Hugh Montgomery and Robert Charles Vaughan showed that "most" even numbers were expressible as the sum of two primes. More precisely, they showed that there existed positive constants c and C such that for all sufficiently large numbers N, every even number less than N is the sum of two primes, with at most CN^(1-c) exceptions. In particular, the set of even integers which are not the sum of two primes has density zero. |
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-4591 |
|
|
|
|
iourique: | Sad_Donkey: Для чего и для кого важно решение вопроса о справедливости этой гипотезы? |
Это сложный вопрос и, в целом, как мне кажется, вредный (в том смысле, что лучше им не задаваться). По двум причинам: 1) нам не дано предугадать, чем... и т.д. и т.п. - факт, кажущийся бессмысленным сегодня, может оказаться ключевым завтра; 2) человеческое любопытство следует поощрять, даже когда его цели неясны, просто потому, что это наше определяющее качество. (Это относится не только к математике - с тем же успехом можно спросить, надо ли строить коллайдеры.) При всем этом, у специалистов обычно есть идеи о некотором общем направлении науки и, соответственно, о том, что интересно, а что нет. Я, к сожалению, в теории числе совсем не разбираюсь.
| В этой связи, интересно, что доказательства (или попытки доказательств) просто и понятно формулируемых утверждений теории чисел используют термины и факты из специальных областей математики, которые людям без соответствующей подготовки не понятны. В отличие от самих утверждений. Почему так? Это - "извивы" развития математических наук или такое явление отражает какую-то сложную для понимания реальность,связанную с глобальным устройством нашего мира? |
Мне кажется, что вера в то, что легко описываемое явление обязано иметь простое объяснение - наивна. По-моему, она даже противоречит нашей сегодняшней картине мира .
|
Я же не говорю о том, что, утверждая (или убеждая себя в том), что результаты исследования этой гипотезы никому не нужны, можно, со спокойной совестью, отказаться от этих исследований и считать себя очень умным. Я говорю о размышлениях по этому поводу, как об этом из подходов к исследованию гипотезы.
(Хотя и мысль о том, что есть "бесполезные" утверждения, тоже высказывалась не самыми глупыми людьми, кажется).
Человеческое любопытство развивается по своим собственным законам (и, как правило, вне зависимости от чьего-то желания его поощрять) и задавать вопросы (даже те, которые вам кажутся вредными) - одно из проявлений этого любопытства.
"Мне кажется, что вера в то, что легко описываемое явление обязано иметь простое объяснение - наивна..." - кто говорил о такой вере? А "наивность" в истории науки (и не только) бывало становилась источником вдохновения для серьезных и важных исследований. Или не так?
Перефразируя сказаннное вами: "То, что кажется наивным сегодня, может стать ключевым завтра". |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4592 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: Я же не говорю о том, что, утверждая (или убеждая себя в том), что результаты исследования этой гипотезы никому не нужны, можно, со спокойной совестью, отказаться от этих исследований и считать себя очень умным. |
Может быть, Вы не говорите, но это разумный вывод, если здраво рассудить. Если я считаю нечто бесполезным, зачем я буду этим заниматься или давать другим деньги на занятия этим?
| Я говорю о размышлениях по этому поводу, как об этом из подходов к исследованию гипотезы. |
Вот это, я думаю, не работает, или работает редко. Например, великую теорему Ферма не очень понятно как использовать, но едва ли размышления на эту тему могут кого-то натолкнуть на мысль о модулярных формах. Гипотеза Римана, с другой стороны, имеет массу применений, но доказать ее это пока не помогло. Понять, доказать и применить - три разные вещи Труднодоказуемые гипотезы - те, где есть разрыв между понять и доказать. Мы понимаем, почему Гольдбах или Коллатц верны, но не знаем, как это понимание формализовать. К сожалению, в тех же случаях разрыв межды доказать и применить обычно еще больше.
| (Хотя и мысль о том, что есть "бесполезные" утверждения, тоже высказывалась не самыми глупыми людьми, кажется). |
Да, например мной.
| ...задавать вопросы (даже те, которые вам кажутся вредными) - одно из проявлений этого любопытства. |
Слово "вредный" мне следовало бы взять в кавычки. Ничего вредного в вопросе нет, если не делать поспешных выводов.
| "Мне кажется, что вера в то, что легко описываемое явление обязано иметь простое объяснение - наивна..." - кто говорил о такой вере? |
Вы. Не хочу сказать, что Вы ее приверженец, но Вы о ней говорили.
| А "наивность" в истории науки (и не только) бывало становилась источником вдохновения для серьезных и важных исследований. Или не так? |
Это, боюсь, не та наивность. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4593 |
|
|
|
|
Вы как-то простовато трактуете мои высказывания, порой используя их для того, чтобы сказать что-то умное и правильное, но имеющее слабое отношение к тому, что говорил я...
Ну, ладно. Если моя инициатива оказалась не интересной, прекращаю свои "гастроли" в этой теме.
С уважением к коллегам... Надеюсь, такое обращение они не сочтут обидным для себя. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4594 |
|
|
|
|
| Не знаю, Сэд. Мне казалось, я говорил ровно о том же, о чем Вы, по крайней мере, сначала. Наверно, чего-то недопонял. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4595 |
|
|
|
|
| Все-таки я полагал (и полагаю), что в том, что я написал (1116) можно найти повод или вдохновение для интересных размышлений-рассуждений, имеющих отношения к устройству мира; так сказать, "в математическом контексте". А не только поводы для снисходительной критики или препирательств. При этом, разумеется, я себя "экспертом" никак не считаю. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4596 |
|
|
|
|
| Хмм... Я высказал какие-то свои мысли (возможно, глупые) на поднятую Вами тему. Все, что Вы смогли в них разглядеть - это критика (?), причем снисходительная (??), и препирательства (???). Я не знаю, как оно так получается, но поскольку обижать Вас у меня никакого желания нет, то от дальнейшего общения с Вами я воздержусь. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4599 |
|
|
|
|
| iourique: Хмм... Я высказал какие-то свои мысли (возможно, глупые) на поднятую Вами тему. Все, что Вы смогли в них разглядеть - это критика (?), причем снисходительная (??), и препирательства (???). Я не знаю, как оно так получается, но поскольку обижать Вас у меня никакого желания нет, то от дальнейшего общения с Вами я воздержусь. |
Почему же так - я не только это усмотрел в ваших сообщениях; а "препирательства" - это не односторонний процесс. К тому же, я использовал это, не слишком употребительное слово, с некоторой долей юмора. Я говорил и повторяю, что очень ценю и уважаю вашу специальную эрудицию и ваш здравый смысл. Мне кажется, что и я - не самый большой дурак и не самый плохой человек. А почему хорошего общения не получается - не знаю. Наверное, комплексы как-то неудачно взаимодействуют... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4600 |
|
|
|
|
Очередная задачка про мудрецов и колпаки (отсюда).
Как водится, злой султан поймал 100 мудрецов. У султана имеется неограниченный запас белых и черных колпаков. Завтра с утра он наденет на голову каждого мудреца бесконечную башню из колпаков случайного цвета (каждый отдельный колпак имеет равную вероятность оказаться белым или черным). Как водится, мудрецы видят друг друга, но не себя. По сигналу каждый мудрец должен записать натуральное число. Если соответствующий колпак на его голове оказывается черным, их всех казнят. То бишь, чтобы выжить, каждый должен угадать номер одного из белых колпаков на своей голове. Что делать мудрецам?
Тривиальная стратегия - каждый пишет 1 (или случайное число) - дает вероятность выжить 1 на 2 в сотой. Неприкольно. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4602 |
|
|
|
|
iourique: Завтра с утра он наденет на голову каждого мудреца бесконечную башню из колпаков
чтобы выжить...что делать мудрецам? |
К сожалению, шансов никаких нет. Я не знаю таких мудрецов, голова которых бы выдержала бесконечную башню колпаков.  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4603 |
|
|
|
|
| Если пишут одновременно и тайно, т.е. не видят написанное другими, не вижу возможности уклониться от "неприкольной" стратегии с вероятностью выжить два в минус сотой. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4604 |
|
|
|
|
| Roger: Если пишут одновременно и тайно, т.е. не видят написанное другими, не вижу возможности уклониться от "неприкольной" стратегии с вероятностью выжить два в минус сотой. |
Если мудрецов двое, и каждый пишет номер первого белого колпака на голове другого, то они выживают с вероятностью 1/3, а не 1/4. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4605 |
|
|
|
|
Я тут по ходу дела придумал задачку (вероятно, не новую), ответ на которую я знаю не до конца, но то, что я уже знаю, очень неожиданно, хотя и несложно. Задача такая:
Допустим, у вас есть генератор случайных чисел (в просторечии именуемый "монетка"), производящий значение 0 или 1 с вероятностью 1/2. Вам нужно с его помощью написать алгоритм, производящий значение 0 с вероятностью p или значение 1 с вероятностью 1-p. Есть много способов это сделать: например, для случая p=1/3, вы можете попросить генератор произвести два числа. Если на выходе получается 00, вы выдаете 0, при 01 или 10 выдаете 1, а при 11 просите генератор сгенерить еще пару чисел. Потенциально алгоритм может и не остановиться, но вероятность этого - 0. Ожидаемое число вызовов генератора случайных чисел в этом алгоритме равно 2 * 4/3 = 8/3. Предположим теперь, что генератор случайных чисел работает медленно и вы хотите минимизировать среднее количество обращений к нему. Как это сделать? Каким средним числом обращений заведомо можно обойтись для данного числа p? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4606 |
|
|
|
|
| iourique: Мы понимаем, почему Гольдбах или Коллатц верны, но не знаем, как это понимание формализовать. |
В каком смысле понимаем верность, если пока не можем доказать?  Причем тут формализация, кто она такая? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4607 |
|
|
|
|
| iourique: великую теорему Ферма не очень понятно как использовать, но едва ли размышления на эту тему могут кого-то натолкнуть на мысль о модулярных формах. |
Теорему о распределении простых чисел, ~ 1/lnN, сперва доказали с использованием комплексного анализа, а полвека спустя Сельберг нашел "элементарное" доказательство без привлечения комплексных чисел. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4608 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: когда я слышу математическое утверждение, мне хочется понять, какая за ним стоит "философия"... Для чего и для кого важно решение вопроса о справедливости этой гипотезы? |
За гипотезой НЕ обязательно стоять какой-то философии, Сэд. На самом деле арифметика и математика в целом прямо-таки кишат случайными, изолированными друг от друга и мало кому и к чему интересными фактами. Я верю, что в математике рулит ... хаос 
| Sad_Donkey: Вопрос предполагает большие числа. Что касается "маленьких", они могут лежать в основе алгоритмов, по которым идет развитие мира... возможны миры, где такого понятия, как наше "количество", вообще не существует |
Развитие мира идёт по любым числам, маленьким и не очень. Насчет миров без количества прозорливость Вам не изменила: у континуума Суслина не бывает рациональных чисел, то бишь всюду плотного счётного подмножества и я лично представить себе такого протяжённого, сплошного количества не могу.
| Sad_Donkey: доказательства (или попытки доказательств) просто и понятно формулируемых утверждений теории чисел используют термины и факты из специальных областей математики, которые людям без соответствующей подготовки не понятны. В отличие от самих утверждений. Почему так? Это - "извивы" развития математических наук или такое явление отражает какую-то сложную для понимания реальность, связанную с глобальным устройством нашего мира? |
Никто не знает что отражает такое явление. Может бывают доказательства утверждений теории чисел в самой теории чисел, хотя что включать в теорию чисел неясно. Матанализ действительных (не комплексных) переменных можно ли включить? С другой стороны, Гёдель доказал, что в арифметике НЕ доказуемы предложения порядка ... 2+2=4 |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4610 |
|
|
|
|
Хайдук: | iourique: Мы понимаем, почему Гольдбах или Коллатц верны, но не знаем, как это понимание формализовать. |
В каком смысле понимаем верность, если пока не можем доказать? |
Преимущественно в том смысле, что и та и другая гипотеза говорят о вещах, верных с вероятностью 1. В случае Коллатца, в каждой последовательности нечетные числа умножаются примерно на 1.5, а четные делятся на 2; если четные и нечетные числа встречаются примерно с одинаковой частотой, последовательность будет пусть немонотонно, но убывать. В случае Гольдбаха, мы знаем что простых чисел, меньших x, порядка x/ln x, всевозможных сумм, таким образом - (x/ln x)^2, что существенно больше, чем x, поэтому естественно предположить, что все четные числа представимы в виде суммы двух простых, причем, скорее всего, многими способами. Когда я говорю, что мы понимаем, что эти гипотезы верны, я имею в виду, что у нас нет никаких веских причин в них сомневаться, никаких препятствий. А вот доказать, что их и впрямь нет, что где-нибудь не происходит какой-нибудь "вселенский сговор", в результате которого число 1280635690238712347892375978951712378341372612744 оказывается непредставимо в виде суммы двух простых - крайне сложно. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4611 |
|
|
|
|
| iourique: Когда я говорю, что мы понимаем, что эти гипотезы верны, я имею в виду, что у нас нет никаких веских причин в них сомневаться, никаких препятствий. А вот доказать, что их и впрямь нет, что где-нибудь не происходит какой-нибудь "вселенский сговор", в результате которого число 1280635690238712347892375978951712378341372612744 оказывается непредставимо в виде суммы двух простых - крайне сложно. |
Как раз в таких "вселенских сговорах" и заключается хаос в математике |
|
|
| номер сообщения: 49-2-4612 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
