|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
zak06: Интересная, но трудная, задача!
Из теории чисел! |
Хорошая задача. Неочевидно, что такое число вообще найдется, хотя расходимость гармонического ряда нам, скорее всего, поможет. Но перебор не поможет точно. Проблема в том, что из двух чисел, 10n+1 и 10n-1, одно заведомо не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Для такого случая мне случайно удалось найти следующую пару:
sigma(1086305282573001491) = 2029106326457548800
sigma(1086305282573001490) = 1968099474550944960.
Думаю, что никакого примера существенно меньше не существует. К сожалению,
sigma(1086305282573001489) = 1569107630383224386.
Для начала я бы упростил задачу и попросил бы найти какой-нибудь пример (не обязательно минимальный). |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3654 |
|
|
|
|
Нашел!!!!
s(24629892688424160868667334518162058512067788505289)=46055483418828625861977399199425500757134986444800
s(24629892688424160868667334518162058512067788505290)=44334241054372058989637306508198725404530723150720
s(24629892688424160868667334518162058512067788505291)=44537682241685654436149016687639771578797916160000
Только минимальность не просите доказывать...
p.s. а он и не минимальный...
s(6095080422061753901409805997218381431395207248989)=11016821012150623753843543273403097967692349440000
s(6095080422061753901409805997218381431395207248990)=10980226035234847397516289243992650168071020052480
s(6095080422061753901409805997218381431395207248991)=11196479369018633876060247821814797079706337280000
p.p.s. и еще меньше:
s(10899118150512092355662334281801606571009)=19632231905057474870253151606989127680000
s(10899118150512092355662334281801606571010)=19618415358896869377080754816437746176000
s(10899118150512092355662334281801606571011)=19650867470381792364747443481983739494400. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3655 |
|
|
|
|
iourique: Нашел!!!!
s(24629892688424160868667334518162058512067788505289)=46055483418828625861977399199425500757134986444800
s(24629892688424160868667334518162058512067788505290)=44334241054372058989637306508198725404530723150720
s(24629892688424160868667334518162058512067788505291)=44537682241685654436149016687639771578797916160000
Только минимальность не просите доказывать...
p.s. а он и не минимальный...
s(6095080422061753901409805997218381431395207248989)=11016821012150623753843543273403097967692349440000
s(6095080422061753901409805997218381431395207248990)=10980226035234847397516289243992650168071020052480
s(6095080422061753901409805997218381431395207248991)=11196479369018633876060247821814797079706337280000
p.p.s. и еще меньше:
s(10899118150512092355662334281801606571009)=19632231905057474870253151606989127680000
s(10899118150512092355662334281801606571010)=19618415358896869377080754816437746176000
s(10899118150512092355662334281801606571011)=19650867470381792364747443481983739494400. |
Здорово, если верно  -
дело в том, что до этого была оценка (не моя!), что n >~ 10^80
(это и была моя 4-я подсказка)
и был приведен пример (не наименьший!)
5707019657504475216700242307626915459099744204108184475974056118653623493126356870
что на много порядков больше чем у Вас?!
Так что у Вас настоящий прорыв!
Каков Ваш подход?
(Mожно и в личку, чтобы не загромождать весь лист.)
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3657 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-3658 |
|
|
|
|
zak06: Каков Ваш подход?
(Mожно и в личку, чтобы не загромождать весь лист.) |
Здесь специальная тема, для таких как мы, здесь можно :)
На самом деле все не безумно хитро. Для начала несколько фактов о функции sigma.
1) Она мультипликативна, т.е. sigma(ab)=sigma(a)sigma(b) для взаимно простых a и b.
2) sigma(a) >= a+1 > a.
3) sigma(p^k) = 1+p+p^2+...+p^k.
Заметим, что sigma(p^k)/p^k = 1+p^-1+p^-2+...+p^-k < p/(p-1). Следовательно, sigma(n) меньше произведения чисел вида p/(p-1) по всем простым делителям n.
Мы хотим найти число вида 10k, такое что sigma(10k) < sigma(10k+1) и sigma(10k) < sigma(10k-1). Отношение
sigma(10k)/10k будет минимальным, когда k - простое. Тогда оно равно sigma(2)sigma(5)sigma(k)/(2*5*k)>1.8. Значит, sigma(10k+1)/(10k+1) > 1.8 и sigma(10k-1)/(10k-1) > 1.8. Одно их этих чисел не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, т.е., у него нет простых делителей меньше 7. По счастью, произведение p/(p-1) расходится, так что 7/6*11/10*13/12*17/16... рано или поздно станет больше, чем 1.8. Это, кажется, случается на 43/42. Второе число уже может делиться на 3, так что мы смотрим на произведение 3/2*47/46*53/52*.... (10k+1 и 10k-1 взаимно просты, у них нет общих делителей)опять же, пока не получим числа, большего чем 1.8. Теперь у нас есть два числа x и y, и нам остается найти их кратные nx и my, такие что nx=10k-1 и my=10k+1. Это несложно. Не факт, что первая попавшаяся комбинация сработает, но если поискать, то что-нибудь найдется. Дальше можно возиться и оптимизировать - я дооптимизировался до 10^40. Как доказывать минимальность, я не знаю - разве что удастся найти совсем маленький пример (порядка 10^15:)), но, боюсь, такого нет. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3660 |
|
|
|
|
| Юрик, а почем увлекаетесь суперструнами/М-теорией? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3662 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-3663 |
|
|
|
|
| Да, iourique, кстати, спасибо за интеграл. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3664 |
|
|
|
|
| Roger: Да, iourique, кстати, спасибо за интеграл. |
А я тут при чем? Вольфраму спасибо.  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3665 |
|
|
|
|
| Не вот этому ли случайно? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3666 |
|
|
|
|
Еще интересная задача!
Из планиметрии.
Возьмем произвольный треугольник АВС.
Не трудно найти тройку точек Д,Е,Ф внутри тр-ка АВС так,
чтобы тр-ки АВД, ВСЕ и АСФ были равновелики.
Таких троек точек Д,Е,Ф можно, для произвольного тр-ка АВС,
можно найти целое множество.
Интереснее найти случай, когда дополнительно тр-к ДЕФ равновелик тр-кам АВД, ВСЕ и АСФ.
Если Вы нашли (численно или построением)
это решение, например, для исходного (АВС) тр-ка 3-4-5, честь Вам и хвала!
А теперь, внимание: вопрос
Решить задачу для дополнительного условия,
что площадь каждого из 4 тр-ков АВД, ВСЕ, АСФ и ДЕФ
равна четверти площади исходного тр-ка АВС!
Подсказки:
1. Задачу придумал я сам.
2. Она была опубликована (и активно обсуждалась) в сети,
но сейчас уже ее не найти :() . А может, кто-нить и помнит ее?
И ЗНАЕТ решение? Пусть тогда даст другим подумать -
"знание порождает скуку" (С)
3. Задача нетривиальная, но корректная - для произвольного тр-ка АВС.
4. Ее можно решать построением, или аналитически - найдя координаты точек
Д,Е,Ф - например, для тр-ка 3-4-5 (мой любимый тр-к, бай-зе-вей).
Бе-эц-лахем!
Гуд лак ту ю!
Успеха Вам!
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3667 |
|
|
|
|
jenya: Насчет дворницкой метлы есть такой забавный анекдот:
<...>" |
Ну, если можно анекдот, вот мой свежий (он вышел в анекдотах.ру,
но получил, неожиданно для меня - автора, отрицательную оценку)
- Кругом полно мужиков, и все хотят одного!
- Ну?
- А он все никак! |
Непонятно, в какой момент смеяться
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3668 |
|
|
|
|
Для всех, кто не знает:
рекомендую сайт про цело-численные последовательности
Кто придумал (или знает) интересную последовательность,
можете посылать туда (у меня их более 2,000 ) 
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3669 |
|
|
|
|
| Roger: Не вот этому ли случайно? |
Нет, более продвинутой версии. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3670 |
|
|
|
|
| iourique: - я дооптимизировался до 10^40. Как доказывать минимальность, я не знаю - разве что удастся найти совсем маленький пример (порядка 10^15:)), но, боюсь, такого нет. |
Похоже, что
n = 10899118150512092355662334281801606571010
действительно минимально - во всяком случае, действуя разными путями
(и следуя методу iourique), я несколько раз (3-4) приходил к этому же числу.
Но, конечно, это не доказательство минимума, я согласен.
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3671 |
|
|
|
|
Олимпиадная задачка для седьмого класса
Тринадцать городов соединены авиалиниями, каждый с каждым. На каждой авиалинии билет стоит целое число рублей, не превосходящее 2010. Может ли оказаться так, что стоимости всех билетов между городами различны, но любое путешествие, в котором турист сможет побывать во всех городах по одному разу и вернуться в исходный город, стоит одну и ту же сумму? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3672 |
|
|
|
|
zak06:
Похоже, что
n = 10899118150512092355662334281801606571010
действительно минимально ... |
Нет. Есть еще такое решение: n = 10880264501621506462885039015631783673130. Оно чуть меньше. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3673 |
|
|
|
|
MikhailK: Олимпиадная задачка для седьмого класса
Тринадцать городов соединены авиалиниями, каждый с каждым. На каждой авиалинии билет стоит целое число рублей, не превосходящее 2010. Может ли оказаться так, что стоимости всех билетов между городами различны, но любое путешествие, в котором турист сможет побывать во всех городах по одному разу и вернуться в исходный город, стоит одну и ту же сумму? |
Для седьмого??? То ли я совсем отупел, то ли одно из двух. И при чем здесь 2010? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3674 |
|
|
|
|
| 2010 очевидно - год Олимпиады |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3675 |
|
|
|
|
| Не, ну я не настолько отупел :) - но хоть какое-то отношение к задаче оно должно иметь? В том смысле, что при такой формулировке ожидаешь ответ "нельзя". Или хотя бы что какое-нибудь очевидное решение отсечется. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3676 |
|
|
|
|
| В олимпиадных задачах год не всегда несёт смысловую нагрузку. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3677 |
|
|
|
|
| iourique:Для седьмого??? То ли я совсем отупел, то ли одно из двух. И при чем здесь 2010? |
Не при чем. Я собственно задал эту задачу ради дополнительного вопроса, который у меня возник.
Как минимизировать максимальную стоимость билета? Другими словами, на какое максимальное число можно заменить число 2010 в условии, чтобы ответ на задачу стал отрицательным? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3678 |
|
|
|
|
| MikhailK: Как минимизировать максимальную стоимость билета? Другими словами, на какое максимальное число можно заменить число 2010 в условии, чтобы ответ на задачу стал отрицательным? |
В построенном мной примере самый дорогой билет стоит 610 рублей (15-ое число Фибоначчи). 2 рубля можно сбросить, а больше, я думаю, нет, но сходу не докажу. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3679 |
|
|
|
|
iourique: | MikhailK: Как минимизировать максимальную стоимость билета? Другими словами, на какое максимальное число можно заменить число 2010 в условии, чтобы ответ на задачу стал отрицательным? |
В построенном мной примере самый дорогой билет стоит 610 рублей (15-ое число Фибоначчи). 2 рубля можно сбросить, а больше, я думаю, нет, но сходу не докажу. |
Возможно мы решаем разные задачи, но у меня максимальная стоимость билета равна 221.
Если не последуют горячие протесты, то завтра изложу свое решение. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3680 |
|
|
|
|
MikhailK:
Если не последуют горячие протесты, то завтра изложу свое решение. |
Я не согласен, хотя и не возражаю 
Дайте подумать...
1. У нас 13*12/2=78 разных цен полетов между городами.
2. Чтобы ВСЕ разности были отличны друг от друга, цены могут быть, или
а) 1,2,4,7,...,78*77/2+1, или
б) 0 (?! в принципе какой-то полет может стоить 0 руб), 1, 2, 4,...,77*76/2+1
3. B обоих случаях самый дорогой билет больше 2010.
4.Ответ - не может быть.
5.Если наврал, я не виноват
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3681 |
|
|
|
|
iourique: zak06:
Похоже, что
n = 10899118150512092355662334281801606571010
действительно минимально ... |
Нет. Есть еще такое решение: n = 10880264501621506462885039015631783673130. Оно чуть меньше. |
ОК!!!!!!!!
Если Вы продолжите попытки, я еще подожду, прежде чем отправлять
поправку к моей посл-ти
А то я только собирался посылать,
как вдруг думаю, а дай-ка я посмотрю этот форум 
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3682 |
|
|
|
|
MikhailK:Возможно мы решаем разные задачи, но у меня максимальная стоимость билета равна 221.
Если не последуют горячие протесты, то завтра изложу свое решение. |
С моей стороны горячих протестов не будет - у меня уже получилось 228. Метод, правда, не просматривается. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3683 |
|
|
|
|
С детства (класс 8-й) мучает меня один фокус. Все не решался обнародовать - жалко было, вдруг кто идею украдет . Так вот. Берем обычный калькулятор и набираем число из 8 цифр, кроме 5, начиная с ЛЮБОЙ цифры и идя по квадрату в ЛЮБОМ направлении. Например: 12369874 или 47896321. ЛЮБОЕ из этих чисел нацело делится на число 1111. Больше того. Снова с ЛЮБОЙ цифры из этих восьми начинаем обход, но ходом коня (вот и тема сайта сошлась с темой треда ). Например 16729438. И снова ЛЮБОЕ из этих чисел нацело делится на число 1111.
Разгадывать я не пытался, несмотря на школьную пятерку- скорее из чувства благоговения перед чудом . А вот теперь уже нет сил терпеть.
В чем фокус-то, товарищи математики? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3684 |
|
|
|
|
| zak06:2. Чтобы ВСЕ разности были отличны друг от друга, цены могут быть, или... |
Мне непонятно откуда такое требование. Разности цен могут быть любым числом, за исключением нуля.
---------------
dimarko, задача просто блеск! Подумаю. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3685 |
|
|
|
|
MikhailK: | zak06:2. Чтобы ВСЕ разности были отличны друг от друга, цены могут быть, или... |
Мне непонятно откуда такое требование. Разности цен могут быть любым числом, за исключением нуля.
|
Если какая-то разность а(к1)-а(к2) равна какой то другой разности
а(к3)-а(к4), то ясно, что могут быть два разных маршрута с одинаковой полной суммой. Это и дает минимальную цену наиболее дорогого билета.
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3686 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
