|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Roger: Сэд, это, вроде, одно и то же? |
Если там не "ровно у двух", то - да.
Я, видимо, слишком грубо оценил решение получающегося неравенства... |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2511 |
|
|
|
|
| Если бы там было "ровно у двух", график не выходил бы на асимптоту, а проходил бы через максимум. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2512 |
|
|
|
|
| Возможно я неаккуратно выразился в подписи к графику и это вызвало некоторое разночтение. В любом случае по приведенной мною ссылке все подробно расписано. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2513 |
|
|
|
|
| Roger: Если бы там было "ровно у двух", график не выходил бы на асимптоту, а проходил бы через максимум. |
Да, вы правы... Я получил точную формулу и грубую оценку и не стал дальше разбираться, ни с графиком этим, ни со статьей...
Конечно, отвык я от этого всего... Слова какие-то помню, хотя бы... |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2514 |
|
|
|
|
Пошел по ссылке Михаила. Очень интересно, спасибо. Один вопрос, который там обсуждается и о котором я толком не задумывался, звучит так: если мы добавляем людей в группу по одному, каков ожидаемый размер группы в момент первого совпадения ДР?
Еще там есть ссылка на главу из Гарднера с целой коллекцией вероятностных парадоксов. В частности, упоминается стратегия удвоения ставки. Этот парадокс только ленивый не обсуждал, и мне он никогда особенно интересным не казался, но тут я что-то задумался.
На случай, если кто-то случайно не в курсе, постановка вопроса. Предлагается следующая стратегии игры в орлянку: ставить всегда на решку и удваивать ставку всякий раз, когда выпадает орел. Как только выпадет решка, забирать свой выигрыш (который - упражнение для читателя - всегда равен размеру первой ставки) и убегать. Ну или начинать сначала.
На первый взгляд, все работает: орел рано или поздно выпадет. Как только он выпадет, мы выигрываем 1. Значит, и средний выигрыш - 1. Вроде все верно.
В реальной жизни, однако, успешно применить стратегию не удается. Проблема в том, что могут кончиться деньги на ставки (в казино, кстати, ограничение ставок производится нормативно - есть максимальная ставка и привет, больше 10-11 удвоений не проходит) или время на игру, а, значит, появляется вероятность не дожить до орла. Она небольшая, зато проигрыш в этом случае большой и в точности уравновешивает матожидание более вероятного, но гораздо более скудного выигрыша. Лотерея наоборот.
То есть, если слегка модифицировать стратегию, сказав, что мы подбрасываем монетку не более N раз, мы имеем нормальную человеческую игру в орлянку с матожиданием 0. Переходя к пределу при N стремящемся к бесконечности получаем игру с матожиданием 1. Что-то не так с этим предельным переходом. Возникает законный и, кажется, глубоко философский вопрос: что вообще значит "играть до первого орла"? Имеет эта фраза смысл или нет? |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2518 |
|
|
|
|
Надо отметить, что само по себе удвоение здесь ни при чем. Можно рассмотреть и более простую стратегию: играть с постоянной ставкой, пока суммарный выигрыш не составит 1. Опять же, вероятность выиграть - 1 (здесь это менее тривиально, но то, что броуновское движение гарантированно превысит любой заданный уровень - известный факт), ну и матожидание, конечно, 1.
Как и раньше, любое ограничение - на число партий или на максимальный проигрыш - немедленно решает все проблемы. Если, скажем, мы играем до тех пор пока не выиграем p или не проиграем q, то, как нетрудно показать, используя, например, марковские цепи, вероятность выиграть равна q/(p+q), а вероятность програть - p/(p+q). Средняя продолжительность такой игры - pq подбрасываний монетки.
Отюда, кстати, следует, что выиграть 1, конечно, можно (p = 1, q = бесконечность), но это в среднем занимает бесконечное время. Если хочешь уложиться в один вечер, надо каждую следующую монетку подкидывать вдвое быстрее, чем предыдущую. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2521 |
|
|
|
|
iourique: Предлагается следующая стратегии игры в орлянку: ставить всегда на решку и удваивать ставку всякий раз, когда выпадает орел. Как только выпадет решка, забирать свой выигрыш (который - упражнение для читателя - всегда равен размеру первой ставки) и убегать. Ну или начинать сначала.
На первый взгляд, все работает: орел рано или поздно выпадет. Как только он выпадет, мы выигрываем 1. Значит, и средний выигрыш - 1. Вроде все верно.
В реальной жизни, однако, успешно применить стратегию не удается. Проблема в том, что могут кончиться деньги на ставки (в казино, кстати, ограничение ставок производится нормативно - есть максимальная ставка и привет, больше 10-11 удвоений не проходит) или время на игру, а, значит, появляется вероятность не дожить до орла. Она небольшая, зато проигрыш в этом случае большой и в точности уравновешивает матожидание более вероятного, но гораздо более скудного выигрыша. Лотерея наоборот. |
А если рассмотреть такую ситуацию. Пусть игрок играет в казино в орлянку и использует стратегию удвоения ставки. Но при этом я предлагаю наложить дополнительное условие, что у игрока и казино в начальный момент имеется конечное количество денег. Если игрок или казино не может выплатить проигранную сумму, то передается остаток и игра заканчивается. Будет ли стратегия удвоения ставки выигрывающей, если у игрока больше денег, чем у казино? |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2522 |
|
|
|
|
| MikhailK: А если рассмотреть такую ситуацию. Пусть игрок играет в казино в орлянку и использует стратегию удвоения ставки. Но при этом я предлагаю наложить дополнительное условие, что у игрока и казино в начальный момент имеется конечное количество денег. Если игрок или казино не может выплатить проигранную сумму, то передается остаток и игра заканчивается. Будет ли стратегия удвоения ставки выигрывающей, если у игрока больше денег, чем у казино? |
В оригинальной стратегии игрок останавливается, как только выигрывает 1. Так что казино особенно много денег не нужно. Если же считать, что игрок продолжает удваивать даже выигрывая, то наличие ограничений сверху и снизу должно приводить к игре с нулевым матожиданием. Заметьте, что количество денег у казино по-прежнему несущественно - игрок сам может решать, когда ему останавливаться, даже если у казино еще много денег осталось. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2523 |
|
|
|
|
Пришла задача, откуда не ждали
На участке № 192 в Хамовниках, где голосовал глава «Яблока» Сергей Митрохин с семьей и где по официальным результатам не было подано ни одного голоса за «Яблоко», в соответствии с решением Хамовнического суда был произведен пересчет бюллетеней. В результате пересчета среди 87 бюллетеней, ранее засчитанных КПРФ, было найдено 16 бюллетеней за «Яблоко», 3 бюллетеня за ЛДПР и 1 за «Патриотов России». Среди 29 бюллетеней за «Справедливую Россию» было найдено 2 недействительных. Среди 904 бюллетеня за «Единую Россию» неправильно подсчитанных обнаружено не было. Таким образом, среди 116 бюллетеней, поданных за оппозиционные партии, оказалось 22 неверно учтенных, а среди 904 бюллетеней за ЕР – ни одного.
Необходимо подсчитать, вероятность такого события, в предположении, что при изначальном подсчете все бюллетени учитывались одинаково тщательно и пересчет выполнен точно.
Невозможное - возможно! |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2547 |
|
|
|
|
MikhailK: Пришла задача, откуда не ждали
На участке № 192 в Хамовниках, где голосовал глава «Яблока» Сергей Митрохин с семьей и где по официальным результатам не было подано ни одного голоса за «Яблоко», в соответствии с решением Хамовнического суда был произведен пересчет бюллетеней. В результате пересчета среди 87 бюллетеней, ранее засчитанных КПРФ, было найдено 16 бюллетеней за «Яблоко», 3 бюллетеня за ЛДПР и 1 за «Патриотов России». Среди 29 бюллетеней за «Справедливую Россию» было найдено 2 недействительных. Среди 904 бюллетеня за «Единую Россию» неправильно подсчитанных обнаружено не было. Таким образом, среди 116 бюллетеней, поданных за оппозиционные партии, оказалось 22 неверно учтенных, а среди 904 бюллетеней за ЕР – ни одного.
Необходимо подсчитать, вероятность такого события, в предположении, что при изначальном подсчете все бюллетени учитывались одинаково тщательно и пересчет выполнен точно.
Невозможное - возможно! |
Есть еще пара способов решать:
1. Выбрать оппозиционные партии для оценки вероятности того, что бюллетень неверно учтен - р = 22/116 = 0.189655. Тогда вероятность того, что из 904 бюллетеней нет ни одного неверно учтенного равна 2.73*10^-83.
2. Использовать для оценки вероятности все бюллетени. Получаем р = 22/1020 = 0.021569. Тогда совместная вероятность двух независимых событий (22 из 116 и 0 из 904) - 2.17*10^-23.
Способ 1, конечно, жульнический, а вот способ 2 мне нравится чуть больше, чем приведенный в статье, хотя результат отличается всего в 12 раз. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2549 |
|
|
|
|
Уфф, я наконец вспомнил, где я читал о маловероятных событиях. В замечательной книге Литтлвуда "Математическая смесь" есть небольшой раздел Совпадения и маловероятные события (стр. 107). Приведенные там примеры показывают, что события, почти невероятные на первый взгляд, могут фактически иметь не столь уж малую вероятность.
В свете этого вероятность события 10^-23 представляется совсем уж невероятной. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2551 |
|
|
|
|
Я когда-то решал следующую несложную задачку: пусть мы сначала выбираем число р из равномерного распределения на отрезке [0,1], потом делаем монетку, которая с вероятностью р падает орлом, и подбрасываем ее n раз. Какова вероятность получить k орлов? Решил я ее прямолинейным вычислением, но ответ меня несколько удивил.
Вчера, читая одну статью, наткнулся на очень забавное доказательство, вообще не требующее никакого счета.
Возьмем окружность длины 1 и выберем на ней случайно (равномерно) 2 точки - А и В. Длину дуги, идущей по часовой стрелке от А к В, назовем р. Теперь кинем на окружность еще n точек. Какова вероятность, что на выбранную дугу попало k точек? Очевидно, это - эквивалентная формулировка первоначальной задачи. Теперь взглянем на ситуацию с другой стороны. Мы выбрали на окружности n+2 точек, потом одну из них назвали А, а другую - В. Точки А и В с равной вероятностью оказываются любой парой точек, а значит между ними - опять же с равной вероятностью - оказывается любое число точек от 0 до n. Ответ - 1/(n+1) - не зависит от k. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2552 |
|
|
|
|
| Неверно. Ведь А и В выбрали неслучайно, между ними фиксированное расстояние. Пусть р = 1 Тогда все новые точки лежат на отрезке АВ, что ясно и из первоначальной формлировки. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2553 |
|
|
|
|
| Grigoriy: Неверно. Ведь А и В выбрали неслучайно, между ними фиксированное расстояние. Пусть р = 1 Тогда все новые точки лежат на отрезке АВ, что ясно и из первоначальной формлировки. |
Имелась в виду вероятность получения k орлов в результате всей процедуры (начиная с выбора р), а не только второго этапа, для которого она, конечно, просто равна C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2554 |
|
|
|
|
| Я уже сообразил, что Вы имели ввиду и хотел написать, что всё верно, но сформулировано неясно - но Вы меня опередили :-) |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2555 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-19-2556 |
|
|
|
|
Roger: PS Аппарат губернатора утверждает, что совпадение совершенно случайное. Оцените вероятность  |
Если считать очень грубо, то где-то 10^-10, что есть приблизительно корень квадратный от ответа на предыдущую задачу. В связи с чем предлагаю результаты выборов в Москве считать двойным fuck you  . |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2557 |
|
|
|
|
| Ну нет, там ведь ещё пробелы между параграфами (и, соответственно, заглавные буквы!) хорошо разложились. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2558 |
|
|
|
|
| Roger: Ну нет, там ведь ещё пробелы между параграфами (и, соответственно, заглавные буквы!) хорошо разложились. |
А вот это сложно оценивать - надо знать, сколько строчек в стандартном вето, на сколько параграфов они бьются и как. 4-3 может оказаться весьма распостраненной комбинацией. К тому же, все буквы в словах fuck you довольно обычные (за исключением k, которая потребовала небольшого выверта). Вот если бы там "x" была, случился бы напряг - попробуй вверни в такую записку ксерокс, ксилофон или рентген. Так что оценка 10^-10 (ну или 10^-11) выглядит довольно адекватно. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-2559 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-19-2560 |
|
|
|
|
Vova17: | vakus: Благодаря осьминогу, немцы стали бронзовыми призерами. |
Шутки шутками, но вероятность такой безошибочной серии уже превратилась в очень малую величину.
Что скажут математики. |
Вероятность не так уж и мала. Сколько результатов матчей угадал осьминог?
В теннисных турнирах победитель выигрывает все свои матчи. Если считать, что победа и поражение в каждом отдельном матче равновероятны, то вероятность того, что конкретный участник турнира победит во всех матчах равна 1/N, где N - число участников турнира. Видно, что вероятность этого события не так уж и мала, как могло бы показаться на первый взгляд.
В случае с неошибающимся осьминогом верояность равна 1/(два в степени количества матчей). Хотя что-то мне подсказывает, что в данном случае нужно поточнее определить вероятность какого события мы считаем, но порядок величины эти детали не изменят. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3301 |
|
|
|
|
| Угадал 7 из 7, если не ошибаются журналисты. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3302 |
|
|
|
|
| vakus: Угадал 7 из 7, если не ошибаются журналисты. |
Это всё равно что угадать семь раз подряд решку (или орла, или любую другую последовательность) в орлянку. Вероятность этого всего лишь 1/(2*2*2*2*2*2*2)=1/128. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3303 |
|
|
|
|
MikhailK: | vakus: Угадал 7 из 7, если не ошибаются журналисты. |
Это всё равно что угадать семь раз подряд решку (или орла, или любую другую последовательность) в орлянку. Вероятность этого всего лишь 1/(2*2*2*2*2*2*2)=1/128. |
Еще добавьте все кроме одного матчи Чемпионата Европы
__________________________
не надо шутить с войной |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3304 |
|
|
|
|
MikhailK: | vakus: Угадал 7 из 7, если не ошибаются журналисты. |
Это всё равно что угадать семь раз подряд решку (или орла, или любую другую последовательность) в орлянку. Вероятность этого всего лишь 1/(2*2*2*2*2*2*2)=1/128. |
Это вероятность выигрыша ЧМ Сев. Кореей.
__________________________
Спасение там, где опасность. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3305 |
|
|
|
|
Vova17: MikhailK: | vakus: Угадал 7 из 7, если не ошибаются журналисты. |
Это всё равно что угадать семь раз подряд решку (или орла, или любую другую последовательность) в орлянку. Вероятность этого всего лишь 1/(2*2*2*2*2*2*2)=1/128. |
Это вероятность выигрыша ЧМ Сев. Кореей. |
Нет, ети цифры различаются минимум на порядок (десятикратно) |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3306 |
|
|
|
|
Возьмите соотношение базарных оценок стоимости испанской / голландской командой к их
общей базарной оценке и получите более реальные вероятности.А осьминог всегда выбирал только коробку "справа".Так что ЛЮДИ угадывали ,а не Пауль. Следовательно чистая мат-вероятность тут нет. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3307 |
|
|
|
|
Помимо описанного Лачезаром, есть ещё один момент, о котором люди обычно забывают.
24.06.2010 10:15 В Германии результаты матчей ЧМ-2010 предсказывают... обезьяна, дикобраз и бегемот
Обезьяна, живущая в зоопарке немецкого города Хемниц, предсказала поражение сборной Германии от Ганы в решающем матче группового турнира чемпионата мира. В случае поражения немцы не выйдут в 1 / 8 финала и завершат борьбу на ЧМ-2010, сообщает «ТСН».
Обезьяна по кличке Антон предсказала исход матча Гана - Германия с помощью сотрудника зоопарка. Он протянул животному ладони, на каждой из которых были изюм. Антон взял еду из той руки, которая, как было заранее договорено, означала победу сборной Ганы.
Ранее животные из зоопарка в Хемнице пытались угадать результаты матчей сборной Германии с Австралией и Сербией, но оба раза ошиблись. Дикобраз Леон предсказал поражение немцев от австралийцев, но матч завершился со счетом 4:0 в пользу Бундестима. Затем бегемот Петти предположил, что немцы победят Сербию, но они уступили со счетом (0:1).
Какими способами предусматривали результаты матчей дикобраз и бегемот, не уточняется. |
Есть описанная схема спам-мошенничества, построенная на этом эффекте с вариациями. Базовый вариант следующий:
Нечестный брокер с базой потенциальных клиентов рассылает (условно) по 256 адресам прогноз на поведение курса акций одной не очень стабильной компании, скажем, на ближайшую неделю. Половина получает прогноз на повышение, другая половина - на понижение. Через неделю акции либо растут, либо понижаются в цене. Клиенты, которые получили неправильный прогноз, отбрасываются. 128 клиента получают следующий прогноз, опять же, половина на повышение, половина на понижение. Еще через неделю число счастливчиков сокращается в два раза, до 64, и так далее. Когда остается всего лишь несколько клиентов, которые получили несколько хороших прогнозов подряд, им рассылается предложение перейти на платные прогнозы. Каждый из них может проверить предыдущие прогнозы и убедиться, что брокер строго "плюсовой". |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3308 |
|
|
|
|
Ага, если не ошибаюсь, они куче животных угадывать предлагали. Вероятность, что хоть одно из них угодало бы верно, будет побольше чем 1/128. Этим "одним из них" стал Пауль.
В любом разе, зоопарк неплохую рекламную акцию провёл. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3309 |
|
|
|
|
gennah: Ага, если не ошибаюсь, они куче животных угадывать предлагали. Вероятность, что хоть одно из них угодало бы верно, будет побольше чем 1/128. Этим "одним из них" стал Пауль.
В любом разе, зоопарк неплохую рекламную акцию провёл. |
Это тоже не вполне честно. Внимание на Пауле сосредоточилось где-то к концу группового турнира. То есть, до этого момента он мог быть одним из многих, после этого он уже был Пауль. И результаты последних пяти игр угадал именно Пауль, а не абстрактное животное из зоопарка. Что дает вероятность типа 1/32 - не невероятно, но довольно нетривиально. |
|
|
| номер сообщения: 49-19-3310 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
