|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-2362 |
|
|
|
|
| Ух ты, сколько тут шустрых товарищей. Нет бы подкинуть что-нибудь любопытное. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2363 |
|
|
|
|
Немного изменю задачу MikhailKа (26.08.2009):
x и y являются числами, большими единицы, не обязательно целыми.
Найти минимально возможное значение модуля разности корней этого уравнения. При какой паре (или парах) х и y это значение достигается? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2365 |
|
|
|
|
ygeshelin: Немного изменю задачу MikhailKа (26.08.2009):
x и y являются числами, большими единицы, не обязательно целыми.
Найти минимально возможное значение модуля разности корней этого уравнения. При какой паре (или парах) х и y это значение достигается? |
Не понимаю смысла модификации. Уравнение ln x/x = a имеет два корня при любом 0<a<1/e. Модуль разности корней принимает все положительные значения. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2366 |
|
|
|
|
| iourique: Модуль разности корней принимает все положительные значения. |
Ага, и, насколько я понял, нужно указать точку, где эта разность равна нулю. Странно, что Enot2 не дал до сих пор правильный ответ.  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2367 |
|
|
|
|
MikhailK: | iourique: Модуль разности корней принимает все положительные значения. |
Ага, и, насколько я понял, нужно указать точку, где эта разность равна нулю. Странно, что Enot2 не дал до сих пор правильный ответ. |
Кстати о Enot2: неплохая задачка найти все рациональные решения. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2369 |
|
|
|
|
iourique:
Уравнение ln x/x = a имеет два корня при любом 0<a<1/e. |
Да, я некорректно поставил задачу. Незачем было корчить из себя Перельмана  . Это можно было бы исправить, но Вы и MikhailK уже все поняли. Я имел в виду случай a = 1/e, единственный, при котором оба корня сливаются в один: x = y = e.
А мне вот что интересно. Есть ли аналитическая формула для решения этого уравнения, или в силу своей трансцендентности, оно точных корней не имеет? А приближенно параметризовать его можно? Этот вопрос меня интересует давно, и натолкнуло на эту мысль меня как раз то удивительное обстоятельство, что 2^4 = 4^2. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2370 |
|
|
|
|
iourique: MikhailK: | iourique: Модуль разности корней принимает все положительные значения. |
Ага, и, насколько я понял, нужно указать точку, где эта разность равна нулю. Странно, что Enot2 не дал до сих пор правильный ответ. |
Кстати о Enot2: неплохая задачка найти все рациональные решения. |
Здорово! К сожалению, я сломался на полпути и привлек на помощь google. Как выяснилось, эту задачу решал ещё Эйлер!
Ссылка по теме
Michael A. Bennett, Bruce Reznick
Positive rational solutions to x^y = y^(mx): a number-theoretic excursion
arXiv:math/0209072
Этот препринт напечатан тут
The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 1 (Jan., 2004), pp. 13-21 |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2371 |
|
|
|
|
| MikhailK, спасибо за ссылку, это то, что мне нужно! Пока что глубоких знаний высшей математики не нужно, там все развилось из семинара для undergraduates и осталось на почти на том же уровне, но как все здорово! Я почитаю еще этих авторов. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2372 |
|
|
|
|
ygeshelin: iourique:
Уравнение ln x/x = a имеет два корня при любом 0<a<1/e. |
Да, я некорректно поставил задачу. Незачем было корчить из себя Перельмана . Это можно было бы исправить, но Вы и MikhailK уже все поняли. Я имел в виду случай a = 1/e, единственный, при котором оба корня сливаются в один: x = y = e.
А мне вот что интересно. Есть ли аналитическая формула для решения этого уравнения, или в силу своей трансцендентности, оно точных корней не имеет? А приближенно параметризовать его можно? Этот вопрос меня интересует давно, и натолкнуло на эту мысль меня как раз то удивительное обстоятельство, что 2^4 = 4^2. |
Ели Вы спрашиваете, можно ли y выразить через x, используя элементарные функции, то ответ, как я понимаю - нет. Но есть простая параметризация: x = (1 + t)^(1/t), y = (1 + t)^(1 + 1/t). |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2373 |
|
|
|
|
| iourique: Ели Вы спрашиваете, можно ли y выразить через x, используя элементарные функции, то ответ, как я понимаю - нет. |
Да, я это спрашивал. Ваши слова подтверждает Dr. Math на вот этом форуме: http://mathforum.org/library/drmath/view/66166.html
But can you write out a formula for the smaller value in terms of the bigger value, or vice-versa? Well, not using any closed-form function.
Это обидно. Когда-то я численно решил уравнение a^x = x^a (x # a) для 13490 значений а в диапазоне [1.001 – 9217], нарисовал график зависимости x от а и безуспешно пытался его параметризовать. То есть, удавалось натянуть некоторые гиперболические параметризации на отдельные части кривой (можно достичь и лучшей корреляции, подбирая коэффициенты по методу наименьших квадратов), но это все не то. А кривая так и просится, чтобы ее описать какой-нибудь красивой формулой. Еще бы: она проходит через точки (2,4); (e,e); (4,2) и по форме очень напоминает гиперболу. Неужто все случайность? Еще в школе была наивная мечта найти что-то такое, что, подобно знаменитой формуле Эйлера одним махом связывает несколько фундаментальных чисел, и чтобы такими числами оказались двойка и четверка. 
И вот надо же, я редко заглядываю на этот форум (еще реже – в эту тему), и тут такой интересный для меня пост!
| iourique: Но есть простая параметризация: x = (1 + t)^(1/t), y = (1 + t)^(1 + 1/t). |
Да, это интересно. Здесь в выражении для y на один параметр меньше, чем в формуле 5 в статье по ссылке MikhailKа. Но все равно, нельзя явно связать x, y и t.  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2374 |
|
|
|
|
ygeshelin: | iourique: Но есть простая параметризация: x = (1 + t)^(1/t), y = (1 + t)^(1 + 1/t). |
Да, это интересно. Здесь в выражении для y на один параметр меньше, чем в формуле 5 в статье по ссылке MikhailKа. Но все равно, нельзя явно связать x, y и t. |
????
ygeshelin, присмотритесь внимательней. Формула (5) идентична тому, что написал iourique. Нужно только сделать замену в формуле (5) t на t+1.
Кстати, насколько я понимаю, y можно явно выразить через x используя функцию Ламберта. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2375 |
|
|
|
|
MikhailK:
ygeshelin, присмотритесь внимательней. Формула (5) идентична тому, что написал iourique. Нужно только сделать замену в формуле (5) t на t+1.
|
У меня на экране плохо видно, но по-моему, у в формуле (5) выражен так:
y = t^(r/(r-1))
Вот если бы было y = r^(r/(r-1)), то согласен, это выражение можно получить, заменяя в формуле iourique t на r-1.
MikhailK:
Кстати, насколько я понимаю, y можно явно выразить через x используя функцию Ламберта. |
Может быть. А как?  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2376 |
|
|
|
|
Формула (5)
С вашим монитором математические статьи читать противопоказано. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2377 |
|
|
|
|
| Спасибо, MikhailK, я уже заказл полный текст статьи. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2378 |
|
|
|
|
Математическая составляющая( возможно  ) малосложная , но приятно посмотреть и с такого ракурса.
Maт " Король + слон + конь против короля "
Задача:
Бель/е начали и играли лучшь/е ходь/... чернь/е сделали 32 хода...
На каком ходу бель/е дали мат и сможете ли показать начальную позицию(позиции)?
Какова вероятность, что "n-тая" диаграмма в вашем решении является и "n-той" диаграммой в "авторском решении"? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2382 |
|
|
|
|
LatchezarS: Математическая составляющая( возможно ) малосложная , но приятно посмотреть и с такого ракурса.
Maт " Король + слон + конь против короля "
Задача:
Бель/е начали и играли лучшь/е ходь/... чернь/е сделали 32 хода...
На каком ходу бель/е дали мат и сможете ли показать начальную позицию(позиции)?
Какова вероятность, что "n-тая" диаграмма в вашем решении является и "n-той" диаграммой в "авторском решении"? |
Лачезар, в теме "Длинные маты в эндшпиле" я пояснил, что при ходе белых существует 552 позиции с матом в 33 хода при белопольном слоне (и еще столько же при чернопольном).
При ходе черных есть 1480+1480=2960 позиций, ведущих к мату в 33 хода.
В этом случае черные делают тоже 33 хода .. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2383 |
|
|
|
|
| Найти наименьшее девятизначное число, в котором каждая цифра 1,2,3,4,5,6,7,8,9 встречается только один раз и при этом делится на 11. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2438 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-2440 |
|
|
|
|
| Roger: Думаю, это 123475869 |
+1 :) |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2441 |
|
|
|
|
СКОЛЬКО ЛЕТ СТАРШЕМУ ?
2009
- Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года.
Несложно,но звучит приятно. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2442 |
|
|
|
|
Уже несколько лет я веду Математический марафон, конкурс для любителей нестандартных математических задач и головоломок.
Недавно что стартовал 12-й тур Марафона.
В рамках одного тура (10 задач), как правило, проводится тематический конкурс. Тематика конкурса этого тура - математика на шахматной доске. Полагаю, она близка обитателям этого форума. Пока опубликованы 4 задачи, две из которых тематические (причем одна - разминочная).
Ознакомиться с заданиями и правилами, а также подключиться к Марафону можно на http://fizmat.vspu.ru, http://dxdy.ru/topic16091.html или http://e-science.ru/forum/index.php?s=2
Милости прошу к нашему шабашу! |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2443 |
|
|
|
|
Ниже приведены примеры старых Марафонских задачек, уже утративших статус конкурсных. В отличие от "действующих" их можно обсуждать прямо здесь.
-------------------------
ММ2
Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей.
Найти диапазон изменения P/S при:
n = 4;
n = 5;
произвольном n, большем 3;
----------------------------
ММ8
Последовательность задана по правилу:
f(n) = -1, если n( mod 53) = 0
f(n) = n (mod (n mod 53)), в остальных слyчаях
1. Каково наибольшее значение f(n)?
2. Пpи каком наименьшем n оно достигается?
3. Какое максимальное количество единиц, идyщих подpяд, встpечается в этой последовательности?
4. Какие числа встpечаются в последовательности чаще чем -1?
-------------------------------
ММ20
Куб ABCDA_1B_1C_1D_1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба.
--------------------------------
ММ48
Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть "строгой", если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир со строгой таблицей также будем называть "строгим".
1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов?
2) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были строгие. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?
3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии правильного турнира при n участниках. Найти явное выражение для d(n).
---------------------------------
ММ61
Футбольные команды Честеpман, Елсич, Пулливеp, Сеналаp и Тонбол пpовели
однокpуговой туpниp.
Его итоги таковы:
Команда..... О PM
Елсич....... 10 3-0
Честеpман... 6 9-6
Пулливеp.... 6 2-7
Сеналаp..... 5 3-1
Тонбол...... 1 2-5
Тpебуется восстановить туpниpную таблицу (указать счет каждого матча).
Пpимечания:
в колонке "О" указано количество очков, набpанных каждой командой;
в колонке "РМ" чеpез дефис указано суммаpное количество забитых и пpопущенных
командой голов;
за победу команде начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко.
---------------------------------
ММ63
В стране, каждый житель которой либо рыцарь (они всегда говорят правду), либо лжец (задачные лжецы, в отличие от настоящих, всегда лгут), за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа - лжецы.
На почве столь резких высказываний разразился небольшой скандал, в результате которого часть компании покинула застолье.
После этого каждый из оставшихся с удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа - рыцари.
- И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца - согласился с ними последний из покидавших компанию.
Тем временем, "отщепенцы" организовали новое собрание, и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом произнес, что среди его соседей ровно один рыцарь.
Сколько человек осталось сидеть на своих местах после раскола компании?
-----------------------
ММ65
Математик С предложил математикам А и В такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.
Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел.
В: Если бы ”мое” число было произведением, я бы знал загаданные числа.
А: Но я, все равно, не знаю этих чисел.
В: Да и я не знаю.
А: А я уже знаю их.
В: Да и я знаю.
Что это за числа?
----------------------------
ММ74
Вася и Петя поспорили.
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого
правильные многоугольники, а все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы.
Петя же утверждает, что объем такого многогранника меньше единицы.
Кто из них прав?
_________________
В.Пупкин, молодой ассистент одной из математических кафедp N-ского унивеpситета, скучал на заседании кафедpы. Взгляд его блуждал, останавливаясь то на затылках сидящих впеpеди доцентов, то на лице заведующего, то на поpтpете одного из светил отечественной математической науки, висевшем над головой завкафедpой, левее таблицы фактоpиалов натуpальных чисел, не пpевосходящих 50. Под поpтpетом были указаны имя и годы жизни ученого. От нечего делать Пупкин пеpемножил год pождения светила на год pождения завкафедpой.
Поскольку доклад последнего о меpопpиятиях по повышению качества учебного пpоцесса в текущем учебном году все не кончался, Пупкин домножил полученное пpоизведение на год своего pождения, а затем на годы pождения маячивших впеpеди доцентов.
"Сосчитав" последнего доцента Пупкин с удивлением обнаpужил, что pезультат его усеpдных вычислений совпал с одним из чисел в таблице фактоpиалов.
Сколько доцентов сидело между Пупкиным и завкафедpой?
Поpтpет какого математика он лицезpел на заседании кафедpы?
Примечание: Дело происходило в России, задачка составлена 5 лет назад.
-------------------------------- |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2444 |
|
|
|
|
| Roger: Думаю, это 123475869 |
Интересно, а как вы это "думали"?
Решая эту не мудреную задачу, как и ей подобные, надо немножко "соображать" и немножко перебирать. "Искусство", в данном случае, состоит в том, чтобы так соображать, чтобы поменьше перебирать.
Простой (но не самый плохой) способ может состоять в следующем.
Попытаемся найти хотя бы одно число (из допустимого набора), которое начинается с комбинации цифр "1" и делится на 11. Найдем!
Далее. Делаем аналогичную попытку для комбинации "12"...
Действуя таким образом, нетрудно убедиться, что искомое число начинается с комбинации "1234".
После этого перебор не велик...
Ваш способ был лучше? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2445 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: | Roger: Думаю, это 123475869 |
Интересно, а как вы это "думали"?
Решая эту не мудреную задачу, как и ей подобные, надо немножко "соображать" и немножко перебирать. "Искусство", в данном случае, состоит в том, чтобы так соображать, чтобы поменьше перебирать.
Простой (но не самый плохой) способ может состоять в следующем.
Попытаемся найти хотя бы одно число (из допустимого набора), которое начинается с комбинации цифр "1" и делится на 11. Найдем!
Далее. Делаем аналогичную попытку для комбинации "12"...
Действуя таким образом, нетрудно убедиться, что искомое число начинается с комбинации "1234".
После этого перебор не велик...
Ваш способ был лучше? |
Мой - лучше :) Признак делимости на 11: сумма цифр на нечетных местах минус сумма цифр на четных местах делится на 11. Сумма всех цифр - 45, значит разница 11 или 33 (0 и 22 не проходят по четности). Если 33, то сумма цифр на четных местах - 6, слишком мало. Значит 11. Сумма цифр на нечетных местах - 28, на четных 17. В нечетные цифры хочется запихнуть 1,3,5,7,9, но не получается, сумма цифр всего 25. Самый дешевый способ набрать недостающие 3 - поменять 5 на 8. Т.е 1,3,7,8,9 на нечетных; 2,4,5,6 - на четных; 123475869. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2446 |
|
|
|
|
| Вот и я так же думал. Кстати, несложно показать, что получившееся число - минимально возможное. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2447 |
|
|
|
|
MikhailK: Найти наименьшее девятизначное число, в котором каждая цифра 1,2,3,4,5,6,7,8,9
встречается только один раз и при этом делится на 11. |
Мари Беррондо " Валер актузль" раздел <<Занимательнь/е задачи>> 1980 Париж
А - В = С
Число А ,число В и число С делятся на 11.
А девятизначное число , в котором каждая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 встречается только один раз .
В девятизначное число , в котором каждая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 встречается только один раз .
Нйити
а)(самое большое С) С maх = ?
в) С min = ?
Метод решения , которь/й дал iourique , блестяще показь/вает свое преимущество.
С maх = 864176544 ; С min = 198 |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2448 |
|
|
|
|
LatchezarS:
Мари Беррондо " Валер актузль" раздел <<Занимательнь/е задачи>> 1980 Париж
А - В = С
Число А ,число В и число С делятся на 11.
А девятизначное число , в котором каждая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 встречается только один раз .
В девятизначное число , в котором каждая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 встречается только один раз .
Наити
а)(самое большое С) С maх = ?
в) С min = ?
Метод решения , которь/й дал iourique , блестяще показь/вает свое преимущество. |
С maх: 987652413 - 123475869 = 864176544
Забавно, что максимальное число значительно ближе к 987654321, чем минимальное к 123456789.
| iourique: Признак делимости на 11: сумма цифр на нечетных местах минус сумма цифр на четных местах делится на 11. |
Признаки делимости
Если записать число в виде abcdefghi, то число делится на 11, если на 11 делится разность (a+c+e+g+i)-(b+d+f+h). Отсюда следует, что перестановки среди наборов цифр acegi и bdfh оставляют число кратным 11. Интересно, сколько всего чисел делящихся на 11 и содержащих цифры 123456789 только по одному разу, которые не сводятся друг к другу с помощью указанных перестановок?
Вопрос снимается. Я думал, что подобных чисел будет не очень много, однако это не так. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2449 |
|
|
|
|
V_A_L:
ММ65
Математик С предложил математикам А и В такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.
Узнав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел.
В: Если бы ”мое” число было произведением, я бы знал загаданные числа.
А: Но я, все равно, не знаю этих чисел.
В: Да и я не знаю.
А: А я уже знаю их.
В: Да и я знаю.
Что это за числа?
|
1,6,8 |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2450 |
|
|
|
|
MikhailK: Если записать число в виде abcdefghi, то число делится на 11, если на 11 делится разность (a+c+e+g+i)-(b+d+f+h). Отсюда следует, что перестановки среди наборов цифр acegi и bdfh оставляют число кратным 11. Интересно, сколько всего чисел делящихся на 11 и содержащих цифры 123456789 только по одному разу, которые не сводятся друг к другу с помощью указанных перестановок?
Вопрос снимается. Я думал, что подобных чисел будет не очень много, однако это не так. |
Не очень много - 11, если я не просчитался, [a+c+e+g+i=28->9, a+c+e+g+i=17->2]. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-2451 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
