|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| jenya: Есть идея, интересно, можно ли так решить. Если точка М находится на биссектрисе, - ответ очевиден (два перпендикуляра). Поэтому вопрос в том, как при заданых В и С (АВ = АС) найти точку К на биссектрисе, чтобы МВ + МС = КВ + КС. |
По идее это означает, что точки К и М лежат на эллипсе с фокусами в точках B и C. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-146988 |
|
|
|
|
| Моё решение укладывается в строчку. Ну, 2. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-146989 |
|
|
|
|
| А, понял. Вместо идеи суммы перпендикуляров из "центральной" точки К гораздо проще идея прямой линии (то бишь, минимальная длина) между точками, которые являются отражениями точки М относительно двух сторон угла. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-146991 |
|
|
|
|
| Тепло. Но не жарко. Собственно идея прямой между отражениями стандартна, и я её реализацию искал и раньше и теперь. Но раньше не прошла, а сейчас прошла :-) |
|
|
| номер сообщения: 8-484-146993 |
|
|
|
|
Справедливо, таким методом я минимизировал периметр треугольника: МВ + МС + BC :) Как сложно мозгами работать, уф. Детская задача.
P.S.
Всё, решил. Одно отражение относительно стороны, другое - относительно биссектрисы. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-146995 |
|
|
|
|
А мой метод тот же, что почти всегда - избегаю думать.
Для начала выбираю удобный для написания формул рисунок - отрезки AB и AC располагаем симметрично относительно оси абсцисс, точка М в первом квадранте на единичной окружности, угол между осью абсцисс и отрезком AM называем m, длину отрезков AB и AC называем x, сумму длин BM и CM обозначим y. Теперь пишем формулу зависимости y от A, m и х:
(1) y = sqrt((x*cos(A/2)-cos(m))**2 + (y*sin(A/2)-sin(m))**2) + sqrt((x*cos(A/2)-cos(m))**2 + (y*sin(A/2)+sin(m))**2)
Я это преобразовал в (2), но на самом деле это ничего не меняет.
(2) y = sqrt(1 + x**2 - 2*x*cos(A/2-m)) + sqrt(1 + x**2 - 2*x*cos(A/2+m))
Дифференцируем:
(3) dy/dx = (x - cos(A/2-m))/sqrt(1 + x**2 - 2*x*cos(A/2-m)) + (x - cos(A/2+m))/sqrt(1 + x**2 - 2*x*cos(A/2+m)) = 0
Смотрим на это уравнение. На первый взгляд кажется, что решать такое аналитически меня в школе не учили.
Присмотревшись внимательнее можно увидеть, в действительности таки учили, но я присмотрелся внимательнее уже задним числом, когда знал решение и ясно понимал, что первый член отрицательный а второй положительный.
В этом месте я прикинул, что происходит на краях диапазона. Сразу понятно, что для m=0 x=cos(A/2). Чуть менее сразу, но тоже понятно, что для m=A/2 x=1. Пытаемся чуть подумать, что из этого следует, но немедленно оставляем это несвойственное нам занятие.
Тут я открыл gnu Octave и быстренько накрапал скрипт, находящий числовым методом максимум y для данных A и m. Поглядел на картинках, как это выглядит и быстренько накрапал следующий скрипт, который для данного A находит максимумы для 129 значений m и строит график x, как функции m.
После этого я стал смотреть на получающиеся графики, пытаться угадать, на что они похожи и проверять догадки с помощью конечно же скриптов.
Угадал с третьей попытки.
Подставил угаданный и до 9-го знака подтверждённый скриптами ответ в формулу (3) и путём длительных преобразований доказал, что dy/dx для x=cos(A/2)/cos(m) действительно равно 0. Ура.
Чем хорош мой метод? Тем, что результат мало зависит от того, умнею я со временем или как большинство, а не как Григорий.
Собственно, только фаза угадываний несколько нестабильна. В данном случае потребовалось 3 попытки и больше часа времени, т.к. немного не повезло - в первых попытках ошибка была в четвёртом или пятом знаке, поэтому я слегка упорствовал, прежде чем гадать дальше. Но могло повезти угадать сразу. Или наоборот, угадать, скажем, с пятого раза. Дольше чем с пятого вряд ли, т.к. было известно, что ответ простой и понятно, что он связан с тригонометрией, а я всё же низ опыта неплохо знаю, как выглядят на графике разные простые функции, связанные с тригонометрией. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-147001 |
|
|
|
|
Michael_S: А мой метод тот же, что почти всегда - избегаю думать.
|
Для таких задач обычно используются один из двух подходов: алгебраический или геометрический.
Алгебраический метод (так как это известная схема) 100% приводит к цели, и занимает ровно 45 минут пешего перехода от работы до «дома» (сначала доказывается, что для минимума-два маленьких прямоугольных треугольника подобны; потом находятся углы этого треугольника; геометрически строится угол; потом через М проводится параллельная прямая под тем же углом).
Геометрический метод хорош тем, что красив, но проблема в том, что насладиться этой красотой вы можете только в том случае, если найдёте это решение. 
P.S. Ваше уравнение (3) и означает на «человеческом» языке, что два прямоугольных треугольника подобны. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-147004 |
|
|
|
|
Об основном вкладе великого лингвиста Востокова в русскую культуру.
Он придумал имя Светлана. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-147010 |
|
|
|
|
Задача была снесена. Видимо ошибочно - т к не видно никакого криминала. Повторю.
100 человек сидят за круглым столом. Каждому выдан чистый лист бумаги на котором с одной стороны и с обратной стороны написаны два разных числа. ▪️Доказать, что oни могут положить листочки на стол таким образом, что ни у кого из соседей одно и тоже число не будет на лицевой стороне. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-147014 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 8-484-147033 |
|
|
|
|
Я, вроде, решил задачу, но ясно изложить не получается.
Но попробую.
Обозначаем людей номерами, от 1 до 100.
Первый проход.
1-й кладёт лист лицевой стороной.
2-й кладёт так, чтобы отличалось от 1-го, 3-й чтобы отличалось от 2-го и так далее до 100-го.
Числа, оказавшиеся наверху, обозначаем А1, А2, ... А100. Те, что внизу, обозначаем Б1, Б2, ... Б100.
Если А1 не равно А100, то расстановка найдена.
В противном случае у нас получается 99 неравенств и одно равенство:
(1) для ч = 1..99, А(ч) # А(ч+1)
(2) А(1) = А(100)
Второй проход.
В начале все листы лежат стороной А кверху.
Переворачиваем 1-й лист. Если Б(1) # А(2), то расстановка найдена.
Иначе переворачиваем 2-й лист. Если Б(2) # А(3), то расстановка найдена.
Иначе и т.д. до ч=99
Если второй проход дошёл до конца, то наверху числа Б1..Б100 и установлены следующие 99 неравенств и 99 равенств:
(3) для ч = 1..99, Б(ч) = А(ч+1)
(4) для ч = 1..99, Б(ч) # Б(ч+1)
Если Б1 не равно Б100, то расстановка найдена.
В противном случае записываем ещё одно равенство:
(5) Б(1) = Б(100)
Третий проход.
В начале все листы лежат стороной Б кверху.
Переворачиваем 1-й лист. Если А(1) # Б(2), то расстановка найдена.
Иначе переворачиваем 2-й лист. Если А(2) # Б(3), то расстановка найдена.
Иначе и т.д. до ч=98
Если третий проход дошёл до конца, то наверху числа А1..А99,Б100 и установлены следующие 98 равенств:
(6) для ч = 1..98, А(ч) = Б(ч+1)
Из (3) и (6) следует, что для ч = 1..98, А(ч) = А(ч+2), следовательно, А(1)=А(99). Из (1) нам известно, что А(99) # А(100), следовательно
А(1) # А(100). Но из (2) нам известно обратное. Мы пришли к противоречию, а значит третий проход не мог дойти до конца. Что и требовалось доказать.
Вероятно, можно доказать, что наша процедура переворачиваний прервётся где-то раньше, чем на 98-м шагу третьего прохода. И от (4) не видно пользы. Но для часа ночи сойдёт и так. |
|
|
| номер сообщения: 8-484-147061 |
|
|
|
|
Что-то очень сложное у Вас. Задача же крайне простая и не требует столько строк.
Решение:
1. Если на всех карточках написана одна пара - решение очевидно(ведь 100 чётное число).
2. Пусть это не так. Тогда где-то карточки с разными парами чисeл лежат рядом.
А. Одно из чисeл у них совпадает, т е карточка А(слева) а/с, карточка В(справа от неё) - а/в
с неравно в .
Карточку В переворачиваем и далее идём направо, переворачивая, если нужно карточки. Когда дойдём до А если её не надо переворачивать - всё ОК. Если надо - то там появится с, которое не равно в и тому числу что слева.
В. Все 4 числа на карточках А и В разные Тогда та же процедура очевидно приводит к успеху - если А надо перевернуть, то на ней число отличное от того, что на В.
Очевидное замечание: это решение показывает, что в случае нечётного числа людей всегда можно сделать то что нужно, если не все карточки одинаковые. Если все - увы :-( |
|
|
| номер сообщения: 8-484-147062 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2026 гг. |
|
|
|
