|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| В комплексной области проблем не может быть, конечно. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3903 |
|
|
|
|
| MikhailK: натуральный логарифм является многозначной функцией даже для вещественного аргумента. Другое дело, что в случае вещественного и положительного аргумента обычно по умолчанию выбирают ту ветвь, которая дает вещественное значение для логарифма. |
Кстати, on top of my head, чё-то не припомню почему это должно быть так  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3911 |
|
|
|
|
Хайдук: | MikhailK: натуральный логарифм является многозначной функцией даже для вещественного аргумента. Другое дело, что в случае вещественного и положительного аргумента обычно по умолчанию выбирают ту ветвь, которая дает вещественное значение для логарифма. |
Кстати, on top of my head, чё-то не припомню почему это должно быть так |
Не совсем понял вопроса, но возможно эта ссылка всё прояснит. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3912 |
|
|
|
|
| MikhailK: Не совсем понял вопроса, но возможно эта ссылка всё прояснит. |
Имел в виду, что для вещественной области многозначности как-будто нету  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3913 |
|
|
|
|
| zak06: Что касается иррациональных n, то каждый математик, с к-м я пытался обсуждать это, в первую очередь говорил, что он не понимает, что значит ряд в степени pi, тогда как для физика (как я) это вообще не проблема - хоть возводи в степень I - |
Это потому что математики слишком заботятся о всякой ерунде, вроде что за чем определяется, существованиях, сходимостях и прочей туфте.
В приведённой формуле - как она есть, т.е. для натуральных n - речь идёт всего-навсего об обобщении "умножения рядов": наложите его n-1 раз, и будет щастие. Ни о какой сходимости речи вообще не шло (хотя она будет, если была изначально).
Для действительных степеней нужно для начала решить, что имеется в виду (а если это уже давно решено, то рассказать мне, потому что я не знаю  ). При этом нужно не перепутать где-нибудь ряд с его суммой:
MikhailK: | zak06: А любопытно увидеть Ваш вывод. |
Нет проблем. Пусть функция f(z) и её p-ая степень имеют следующие разложения в ряд
нам необходимо связать между собой коэффициенты в этих разложениях. Для этого рассмотрим также ряды для производных
Теперь необходимые соотношения между коэффициентами получаются, если в элементарное соотношение
подставить выписанные выше разложения и собрать коэффициенты при одинаковых степенях z. |
Я так понимаю, в степень мы возводим ряд; отсюда сразу вопрос: кто такая f(z), почему она существует? Конечно, мы можем предположить, что она существует (это для математиков - что два пальца об асфальт ); правда, утверждение уже придётся видоизменить - добавить в начало "для сходящихся в некоторой окрестности нуля рядов". Хорошо, видоизменили. Посчитали f(z)^p. А она, эта f(z)^p, точно разлагается в окресности нуля? Ведь эта гадкая p могла (в нашем обобщении) оказаться какой-нибудь "минус единицей"...
В общем, доказательство мне понятно, а доказываемое утверждение - нет.
MikhailK: А какая проблема с возведением в произвольную степень? Например, есть такая функция, как экспонента. Вы её также боитесь?
Как известно, выражение a^b (a в степени b) необходимо понимать как e^(b*ln(a)). Так как логарифм является многозначной функцией, то и операция возведения в степень при нецелом b является многозначной. Никакой трагедии я тут не вижу.
Что касается возведения ряда 1+q+q^2+q^3+..., в степень I, то я не вижу, что бы могло помешать использовать приведенные ранее рекуррентные соотношения. Ясно, что при выборе определенной ветви логарифма значения коэффициентов разложения будут обычными комплексными числами. В чем тут проблема? |
Экспоненты не боюсь, а вот экспонента ряда - это уже пострашнее. А уж вкупе с логарифмом ряда - тушите свет, сдаюсь. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3915 |
|
|
|
|
gennah: Я так понимаю, в степень мы возводим ряд; отсюда сразу вопрос: кто такая f(z), почему она существует? Конечно, мы можем предположить, что она существует (это для математиков - что два пальца об асфальт ); правда, утверждение уже придётся видоизменить - добавить в начало "для сходящихся в некоторой окрестности нуля рядов". Хорошо, видоизменили. Посчитали f(z)^p. А она, эта f(z)^p, точно разлагается в окресности нуля? Ведь эта гадкая p могла (в нашем обобщении) оказаться какой-нибудь "минус единицей"...
В общем, доказательство мне понятно, а доказываемое утверждение - нет. |
Вы придираетесь. 
Пусть ряд Тейлора функции f(z) сходится в окрестности z=0 в некотором круге ненулевого радиуса и f(0) отлично от нуля. Тогда ряд Тейлора для функции f(z)^p имеет ненулевой радиус сходимости для любого p и все формулы, которые я писал выше, имеют смысл.
Есть подозрение, что формулы остаются также справедливыми и для формальных рядов, но пусть уж этим занимаются математики. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3916 |
|
|
|
|
| MikhailK: Есть подозрение, что формулы остаются также справедливыми и для формальных рядов, но пусть уж этим занимаются математики. |
Ну собственно весь вывод и был для формальных рядов. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3917 |
|
|
|
|
| gennah: А уж вкупе с логарифмом ряда - тушите свет, сдаюсь. |
А в чем проблема с логарифмом ряда? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3918 |
|
|
|
|
MikhailK: Вы придираетесь.
Пусть ряд Тейлора функции f(z) сходится в окрестности z=0 в некотором круге ненулевого радиуса и f(0) отлично от нуля. Тогда ряд Тейлора для функции f(z)^p имеет ненулевой радиус сходимости для любого p и все формулы, которые я писал выше, имеют смысл.
Есть подозрение, что формулы остаются также справедливыми и для формальных рядов, но пусть уж этим занимаются математики. |
Конечно, придираюсь.
Но, по-моему, это нужно отметить - определение/доказательство работает ровно тогда, когда имеется отождествление рядов с функциями. Это самый неинтересный случай - рядов-то как бы и нет. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3919 |
|
|
|
|
| gennah: когда имеется отождествление рядов с функциями. |
А бывает ли по-другому? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3920 |
|
|
|
|
iourique: | gennah: А уж вкупе с логарифмом ряда - тушите свет, сдаюсь. |
А в чем проблема с логарифмом ряда? |
Видимо, проблема в моём понимании выражения "операции с рядами". По мне, это когда я беру любой ряд (ну или два ряда, если надо), напускаю на него операцию, и получаю взад тоже ряд. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3921 |
|
|
|
|
| gennah:...рядов-то как бы и нет. |
| – Ну, уж это положительно интересно, – трясясь от хохота проговорил профессор, – что же это у вас, чего ни хватишься, ничего нет! |
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-3922 |
|
|
|
|
gennah: iourique: | gennah: А уж вкупе с логарифмом ряда - тушите свет, сдаюсь. |
А в чем проблема с логарифмом ряда? |
Видимо, проблема в моём понимании выражения "операции с рядами". По мне, это когда я беру любой ряд (ну или два ряда, если надо), напускаю на него операцию, и получаю взад тоже ряд. |
Ну да, я тоже так понимаю. Взятие логарифма при этом ничем не хуже деления вроде. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3923 |
|
|
|
|
| iourique: Ну да, я тоже так понимаю. Взятие логарифма при этом ничем не хуже деления вроде. |
Да, действительно... это я не подумавши ляпнул. С логарифмом всё ОК: делить умеем, производную считать умеем - определение готово.
Но экспонента по-прежнему пугает. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3924 |
|
|
|
|
Клевый блог! Вот бы еще создали блог, в котором зади школьные решали бы 
__________________________
What does not kill us make us stronger |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3925 |
|
|
|
|
| Vanushka 701: Клевый блог! Вот бы еще создали блог, в котором зади школьные решали бы
|
Школьные задачи решаем здесь же. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3926 |
|
|
|
|
| gennah: Но экспонента по-прежнему пугает. |
Композиция двух рядов - нормальная операция, в целом. Нужно только чтобы у внутреннего ряда не было свободного члена. В случае экспоненты от него нетрудно избавиться (в предположении, что мы умеем считать экспоненту от коэффициента). |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3927 |
|
|
|
|
| iourique: Композиция двух рядов - нормальная операция, в целом. Нужно только чтобы у внутреннего ряда не было свободного члена. В случае экспоненты от него нетрудно избавиться (в предположении, что мы умеем считать экспоненту от коэффициента). |
Угу, убедили. 
Ну, значит, всё путём - больше ничего не пугает. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3928 |
|
|
|
|
jenya:
Задачу номер два у Арнольда (из олимпиады для дошкольников со страницы номер 28) решал минут 15. Минут через 10 придумал решение, опасное для жизни альпиниста (решение встречено диким хохотом всех домашних), я бы лучше на скале остался. А еще через 5 минут задача для дошкольников была решена. |
Ну и какое у Вас решение? После некоторых усилий я тоже получил 2 решения:
одно с броском вниз головой с нижнего дерева и 2-е используя трюк с петлей, к к-й привязан к-л груз, напр., ботинок:
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3929 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-3930 |
|
|
|
|
Трюк с грузом не будет работать по физическим причинам (трение).
Посмотрите следующую задачу, она тоже элегантна. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3931 |
|
|
|
|
Roger: Трюк с грузом не будет работать по физическим причинам (трение).
Посмотрите следующую задачу, она тоже элегантна. |
Там у меня никаких (пока?) "идей"
И не подсказывайте!
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3932 |
|
|
|
|
Roger: Трюк с грузом не будет работать по физическим причинам (трение).
<...> |
Трюк с петлей - не идеальное решение, но работает.
А за порчу (и даже потерю?!) инвентаря Вам может и влететь!
__________________________
I love chess |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3933 |
|
|
|
|
| Думаю, трюк с петлёй и был тем решением, над которым смеялись домашние Жени. Представим что трения нет, ботинок вдвое тяжелее верёвки. Дополнительный вопрос: какую скорость будет иметь ботинок на промежуточной высоте 50 м? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3934 |
|
|
|
|
| Roger: Посмотрите следующую задачу, она тоже элегантна. |
Вот условие этой задачи.
| Бикфордов шнур прогорает от одного конца до другого за час, но горит неравномерно: за полчаса огонь дойдёт не до середины шнура. Имея два таких (по-разному неравномерных) шнура и не располагая часами, отмерить 45 минут. |
PS Задачу решил. Уверен, что я её уже решал (видел решение) когда-то и, наверное, просто вспомнил решение. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3935 |
|
|
|
|
Да, у этих задачек есть такой недостаток - решение порой запоминается надолго.
Уж не знаю, по какой аналогии, но вспомнилась такая задачка: На стене два гвоздя, и мы хотим на эти гвозди повесить... ну, скажем, картину. Ну то есть, картина наша как бы с петлёй, и мы можем накинуть эту петлю на оба гвоздя, и она будет вполне себе висеть. Или можем накинуть петлю только на левый гвоздь, или только на правый - всё равно висит картина. Но в задачке требуется немного не это: требуется, чтобы картина висела, но если мы вынимаем любой из гвоздей, то картина падает.
P.S. А трюка с ботинком я вообще не пойму... Правда, и пива уже выпито немало. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3939 |
|
|
|
|
| Я уже как-то здесь задачку про два гвоздя давал, а Роджер ее довольно быстро решил. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3940 |
|
|
|
|
gennah: Да, у этих задачек есть такой недостаток - решение порой запоминается надолго.
Уж не знаю, по какой аналогии, но вспомнилась такая задачка: На стене два гвоздя, и мы хотим на эти гвозди повесить... ну, скажем, картину. Ну то есть, картина наша как бы с петлёй, и мы можем накинуть эту петлю на оба гвоздя, и она будет вполне себе висеть. Или можем накинуть петлю только на левый гвоздь, или только на правый - всё равно висит картина. Но в задачке требуется немного не это: требуется, чтобы картина висела, но если мы вынимаем любой из гвоздей, то картина падает. |
Позвольте, но это уже было в этой теме. Сейчас найду.
Upd. Нашёл, вот она. У задачи оказалось много побочных решений. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3941 |
|
|
|
|
Да? Прошу прощения тогда...
Upd. А если про n гвоздей? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3942 |
|
|
|
|
gennah: Да? Прошу прощения тогда...
Upd. А если про n гвоздей? |
Интересное обобщение, но мне кажется, что я и её решил. В решении очень помогло понятие коммутатора двух элементов группы. Решение Роджера для двух гвоздей записывается в виде одного коммутатора, а для n гвоздей достаточно записать n-1 вложенных коммутаторов.
Мне кажется, что задача о n гвоздях должна иметь наглядное топологическое истолкование. Я думал о стягиваемом контуре на сфере с ручками, но тут мне пришло в голову решение с коммутаторами. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-3944 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
