|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
Sad_Donkey: MikhailK: Sad_Donkey:
Пуcть С(к) равно сумме цифр числа "два в степени "к"", записанного в десятичной системе счисления (то есть, обычной, так сказать). Доказать, что С(к) стремится к бесконечности при "к", стремящемся к бесконечности... |
Похоже, что я решил эту задачу с помощью цепных дробей.  Я умею сооружать такие степени двойки, которые имеют сколь угодно длинную последовательность девяток в начале. Отсюда немедленно следует решение задачи. |
Отсюда следует, что есть подпоследовательности, которые стремятся к бесконечности. Но доказывает ли это утверждение задачи? |
Верно, не доказывает. Как обычно я решил немного другую задачу.  |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1223 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: iourique: | Sad_Donkey: Простите, я не понял... Может кто-то поумнее меня выскажется... |
Извиняюсь, проврался... |
Ну, что вы... Какие счеты... |
А вот теперь, кажется, решил: C(k) > ln k/ln 4.
Пусть n - число знаков в 2^k (n = k log 2), среди которых q ненулевых с номерами а_1,..., а_q, где а_1 = 1, а_q = n (последняя и первая цифры точно не ноль). Ключевое наблюдение: а_{s+1} <= 4а_s (иначе 2^к = х * 10^{4а_s} + y, где y <= 10^{а_s} < 16^{а_s} = 2^{4а_s}. Противоречие, так как и 2^k, и х * 10^{4а_s} делятся на 2^{4а_s}, а у - нет). Таким образом, а_q <= 4^{q-1}а_1 <=> n <= 4^{q-1} <=> q > ln n/ ln 4 + 1 > ln k/ln 4. Но C(k) >= q, qed. 4 можно заменить на логарифм двоичный десяти. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1224 |
|
|
|
|
iourique: | Ну, что вы... Какие счеты... |
А вот теперь, кажется, решил: C(k) > ln k/ln 4. |
Думаю, что решили. Честно сказать, мне не хочется "досимвольно" разбираться в том, что вы написали. Но идея и "ключевое неравенство" похожи на то, что было у меня при решении этой задачи. И, надо полагать, соответствуют сути дела... А что с тетраэдром? Эта задача, по характеру, совсем другая. И, на мой взгляд, совершенно замечательная, в некотором отношении... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1226 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: А что с тетраэдром? Эта задача, по характеру, совсем другая. И, на мой взгляд, совершенно замечательная, в некотором отношении... |
Самое длинное ребро (против большего угла - большая сторона). |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1227 |
|
|
|
|
iourique: | Sad_Donkey: А что с тетраэдром? Эта задача, по характеру, совсем другая. И, на мой взгляд, совершенно замечательная, в некотором отношении... |
Самое длинное ребро (против большего угла - большая сторона). |
Класс!..
Эта задача прекрасно иллюстрирует "принцип максимума"...
А как ее решать, если такое не сообразишь, совсем не понятно... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1228 |
|
|
|
|
| MikhailK: Похоже, что я решил эту задачу с помощью цепных дробей. Я умею сооружать такие степени двойки, которые имеют сколь угодно длинную последовательность девяток в начале. |
MikhailK, если не секрет, зачем Вам цепные дроби? Если я ничего не путаю, степень 2 может начинаться с произвольной комбинации цифр, что следует из иррациональности десятичного логарифма 2 (последовательность дробных частей n log 2 плотна всюду на интервале (0,1)). |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1229 |
|
|
|
|
iourique: | MikhailK: Похоже, что я решил эту задачу с помощью цепных дробей. Я умею сооружать такие степени двойки, которые имеют сколь угодно длинную последовательность девяток в начале. |
MikhailK, если не секрет, зачем Вам цепные дроби? Если я ничего не путаю, степень 2 может начинаться с произвольной комбинации цифр, что следует из иррациональности десятичного логарифма 2 (последовательность дробных частей n log 2 плотна всюду на интервале (0,1)). |
Пытаясь решить задачу, я незаметно для себя подменил условие и стал доказывать, что сумма цифр не может быть ограничена. Доказательство этого факта можно сделать очень элегантным, если использовать цепные дроби (рациональные приближения к ln(2)/ln(10) ). |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1230 |
|
|
|
|
Такая еще задачка маленькая вспоминается...
На кольцевой трассе находятся (в неподвижном состоянии) "к" одинаковых автомобилей. Если использовать бензин, которой имеется у всех автомобилей вместе, то его хватит на то, чтобы ровно один раз проехать трассу.
Доказать, что есть такой автомобиль, что доехав на нем до соседнего автомобиля и слив себе бензин из этого соседнего, и поступая также и дальше, можно проехать всю трассу... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1231 |
|
|
|
|
MikhailK: iourique: | MikhailK: Похоже, что я решил эту задачу с помощью цепных дробей. Я умею сооружать такие степени двойки, которые имеют сколь угодно длинную последовательность девяток в начале. |
MikhailK, если не секрет, зачем Вам цепные дроби? Если я ничего не путаю, степень 2 может начинаться с произвольной комбинации цифр, что следует из иррациональности десятичного логарифма 2 (последовательность дробных частей n log 2 плотна всюду на интервале (0,1)). |
Пытаясь решить задачу, я незаметно для себя подменил условие и стал доказывать, что сумма цифр не может быть ограничена. |
Это я понял.
| Доказательство этого факта можно сделать очень элегантным, если использовать цепные дроби (рациональные приближения к ln(2)/ln(10) ). |
Мне просто кажется, что цепные дроби - обходной путь. То, что я выше написал (иррациональность логарифма 2), вроде и более общо, и проще, нет? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1232 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: Такая еще задачка маленькая вспоминается...
На кольцевой трассе находятся (в неподвижном состоянии) "к" одинаковых автомобилей. Если использовать бензин, которой имеется у всех автомобилей вместе, то его хватит на то, чтобы ровно один раз проехать трассу.
Доказать, что есть такой автомобиль, что доехав на нем до соседнего автомобиля и слив себе бензин из этого соседнего, и поступая также и дальше, можно проехать всю трассу... |
По индукции.
Если верно для "k-1" автомобилей с трассой соответственно меньшей длины, то постановка в любом ее месте k-го авто увеличит длину до нужного размера ..
Случаи k=2, 3 - элементарны .. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1233 |
|
|
|
|
iourique:
| Доказательство этого факта можно сделать очень элегантным, если использовать цепные дроби (рациональные приближения к ln(2)/ln(10) ). |
Мне просто кажется, что цепные дроби - обходной путь. То, что я выше написал (иррациональность логарифма 2), вроде и более общо, и проще, нет? |
Конечно Вы правы. Как-то глупо защищать своё недодоказательство, даже учитывая мою слабость к цепным дробям. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1234 |
|
|
|
|
azur: Sad_Donkey: Такая еще задачка маленькая вспоминается...
На кольцевой трассе находятся (в неподвижном состоянии) "к" одинаковых автомобилей. Если использовать бензин, которой имеется у всех автомобилей вместе, то его хватит на то, чтобы ровно один раз проехать трассу.
Доказать, что есть такой автомобиль, что доехав на нем до соседнего автомобиля и слив себе бензин из этого соседнего, и поступая также и дальше, можно проехать всю трассу... |
По индукции.
Если верно для "k-1" автомобилей с трассой соответственно меньшей длины, то постановка в любом ее месте k-го авто увеличит длину до нужного размера ..
Случаи k=2, 3 - элементарны .. |
azur, Вы не могли бы пояснить свое решение?
Я знаю другое, через любимый Sad_Donkey принцип максимума: найти кусок трассы с максимальной нехваткой бензина и начать сразу после. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1235 |
|
|
|
|
azur: По индукции.
Если верно для "k-1" автомобилей с трассой соответственно меньшей длины, то постановка в любом ее месте k-го авто увеличит длину до нужного размера ..
Случаи k=2, 3 - элементарны .. |
Можно и по индукции. Но как-то вы меня не убедили...
Собственно, я и хотел,при случае, использовать эту задачу, как симпатичный пример рассуждения "по индукции"...
Например, захотелось вам поговорить об элементарной математике в сельской школе... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1236 |
|
|
|
|
iourique:
Я знаю другое, через любимый Sad-Donkey принцип максимума: найти кусок трассы с максимальной нехваткой бензина и начать сразу после. |
Можно и "принцип максимума" иллюстрировать (см. выше)...
Вообще-то, у меня есть, так сказать, любимые принципы; но они несколько другой природы... Еще задачку хотите? Или вы знаете уже как все задачки решать?.. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1237 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: iourique:
Я знаю другое, через любимый Sad-Donkey принцип максимума: найти кусок трассы с максимальной нехваткой бензина и начать сразу после. |
Можно и "принцип максимума" иллюстрировать (см. выше)...
Вообще-то, у меня есть, так сказать, любимые принципы; но они несколько другой природы... Еще задачку хотите? Или вы знаете уже как все задачки решать?.. |
Давайте... Лишняя задачка никогда не повредит  . |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1238 |
|
|
|
|
iourique: azur: Sad_Donkey: Такая еще задачка маленькая вспоминается...
На кольцевой трассе находятся (в неподвижном состоянии) "к" одинаковых автомобилей. Если использовать бензин, которой имеется у всех автомобилей вместе, то его хватит на то, чтобы ровно один раз проехать трассу.
Доказать, что есть такой автомобиль, что доехав на нем до соседнего автомобиля и слив себе бензин из этого соседнего, и поступая также и дальше, можно проехать всю трассу... |
По индукции.
Если верно для "k-1" автомобилей с трассой соответственно меньшей длины, то постановка в любом ее месте k-го авто увеличит длину до нужного размера ..
Случаи k=2, 3 - элементарны .. |
azur, Вы не могли бы пояснить свое решение? |
Поясню.
Для простоты выберем на первоначальной трассе автомобиль с количеством топлива, не хватающим чтобы доехать до следующего.
(В противном случае движение может начинать любой автомобиль, и условие задачи будет выполнено ..)
Убираем это авто вместе с участком трассы, который можно проехать на его топливе. Замыкаем в кольцо оставшийся фрагмент трассы и доказываем для "k-1" автомобилей, и т.д. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1239 |
|
|
|
|
iourique:
Давайте... Лишняя задачка никогда не повредит . |
Ну... Допустим так.
На столе разлито чернильное пятно. Площадь пятна меньше 1 (ед. площади). Накладываем на это пятно (высохло оно уже!) кальку, разлинованную прямоугольной сеткой 1х1 (те же единицы, но длины).
Доказать, что можно так разместить кальку, что ни один узел сетки не будет проектироваться на пятно...
Примечание. Если вам не хватает в условии строгости, с точки зрения топологии или теории меры, наведите ее сами. Или не решайте задачку. А Ослик вам в этом не помощник.
Давайте только считать, что диаметр множества точек, из которых состоит пятно, конечен... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1240 |
|
|
|
|
azur: | iourique: azur, Вы не могли бы пояснить свое решение? |
Поясню.
Для простоты выберем на первоначальной трассе авто с количеством топлива, не хватающим чтобы доехать до следующего.
(В противном случае движение может начинать любой автомобиль, и условие задачи будет выполнено ..)
Убираем это авто вместе с участком трассы, который можно проехать на его топливе. Замыкаем в кольцо оставшийся фрагмент трассы и доказываем для "k-1" автомобилей, и т.д. |
Красиво. Спасибо. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1241 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: iourique:
Давайте... Лишняя задачка никогда не повредит . |
Ну... Допустим так.
На столе разлито чернильное пятно. Площадь пятна меньше 1 (ед. площади). Накладываем на это пятно (высохло оно уже!) кальку, разлинованную прямоугольной сеткой 1х1 (те же единицы, но длины).
Доказать, что можно так разместить кальку, что ни один узел сетки не будет проектироваться на пятно...
Примечание. Если вам не хватает в условии строгости, с точки зрения топологии или теории меры, наведите ее сами. Или не решайте задачку. А Ослик вам в этом не помощник.
Давайте только считать, что диаметр множества точек, из которых состоит пятно, конечен... |
Э-эх.. Эту я уже один раз решал. И решил.
Кстати, измеримости, кажется, должно хватать - конечность диаметра несущественна. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1242 |
|
|
|
|
iourique: azur: | iourique: azur, Вы не могли бы пояснить свое решение? |
Поясню.
Для простоты выберем на первоначальной трассе авто с количеством топлива, не хватающим чтобы доехать до следующего.
(В противном случае движение может начинать любой автомобиль, и условие задачи будет выполнено ..)
Убираем это авто вместе с участком трассы, который можно проехать на его топливе. Замыкаем в кольцо оставшийся фрагмент трассы и доказываем для "k-1" автомобилей, и т.д. |
Красиво. Спасибо. |
Именно так я решил когда-то эту задачу...
А можно так. Всегда есть автомобиль на котором можно доехать до следующего. Можно считать, что бензин следующего уже находится на этом автомобиле; а следующий этот - изъять "на минуточку".
Годится? |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1244 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: iourique: azur: | iourique: azur, Вы не могли бы пояснить свое решение? |
Поясню.
Для простоты выберем на первоначальной трассе авто с количеством топлива, не хватающим чтобы доехать до следующего.
(В противном случае движение может начинать любой автомобиль, и условие задачи будет выполнено ..)
Убираем это авто вместе с участком трассы, который можно проехать на его топливе. Замыкаем в кольцо оставшийся фрагмент трассы и доказываем для "k-1" автомобилей, и т.д. |
Красиво. Спасибо. |
Именно так я решил когда-то эту задачу...
А можно так. Всегда есть автомобиль на котором можно доехать до следующего. Можно считать, что бензин следующего уже находится на этом автомобиле; а следующий этот - изъять "на минуточку".
Годится? |
И так неплохо . Забавная дуальность: одному решению нужен автомобиль, который до следующего не доедет, другому - наоборот. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1245 |
|
|
|
|
iourique: Sad_Donkey: iourique:
Давайте... Лишняя задачка никогда не повредит . |
Ну... Допустим так.
На столе разлито чернильное пятно. Площадь пятна меньше 1 (ед. площади). Накладываем на это пятно (высохло оно уже!) кальку, разлинованную прямоугольной сеткой 1х1 (те же единицы, но длины).
Доказать, что можно так разместить кальку, что ни один узел сетки не будет проектироваться на пятно...
Примечание. Если вам не хватает в условии строгости, с точки зрения топологии или теории меры, наведите ее сами. Или не решайте задачку. А Ослик вам в этом не помощник.
Давайте только считать, что диаметр множества точек, из которых состоит пятно, конечен... |
Э-эх.. Эту я уже один раз решал. И решил.
Кстати, измеримости, кажется, должно хватать - конечность диаметра несущественна. |
Это - смотря как вы ее решали...
Да, придется пошарить по сусекам... Трудно мне с вами... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1246 |
|
|
|
|
Вот задачка.
"Откуда можно нормально скачать Latex2e"(?) |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1248 |
|
|
|
|
Давайте и я задачку подкину. Она некоторое время ходила в интернете, так что кто-то ее может знать. Условие сложноватое, но ответ совершенно удивительный.
Есть четыре заключенных, приговоренных к смертной казни. Им дают последний шанс на спасение:
Карточки с их именами кладут в 4 шкатулки, которые ставят в ряд на столе в отдельной комнате. Смертники по очереди входят в эту комнату. Входящий может открыть одну из шкатулок, прочесть имя на карточке, потом - при желании - открыть еще одну шкатулку и прочесть спрятанное в ней имя. После чего карточки с именами возвращаются туда, где они лежали, узника возвращают в его камеру. Всех четырех освободят, если каждый найдет карточку со своим именем; иначе - всех казнят. Заключенные могут договориться о стратегии до начала испытания, но не могут общаться во время него. Двигать шкатулки, гнуть карточки, и т.п. запрещено. Каковы шансы узников на спасение при использовании наилучшей стратегии?
Две стратегии для затравки:
1) открывать наугад - вероятность найти свое имя: 1/2 для каждого, вероятность спастись - 1/16;
2) первые двое открывают две левых шкатулки, последние двое - две правых. Вероятность спастись - 1/6.
Задача легко обобщается на n узников, каждый из которых может открыть k шкатулок. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1249 |
|
|
|
|
| номер сообщения: 49-2-1250 |
|
|
|
|
Sad_Donkey: Вот задачка.
"Откуда можно нормально скачать Latex2e"(?) |
http://miktex.org/
__________________________
Audiatur et altera pars |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1251 |
|
|
|
|
Следы от поп А и Б. Вот кто. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1252 |
|
|
|
|
| Sad_Donkey: Следы от поп А и Б. Вот кто. |
Правило 3-е (совершенно необязательное): не наследи! 
Мимо.
__________________________
maya idam sarvam |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1253 |
|
|
|
|
Jester_Buffoon: | Sad_Donkey: Следы от поп А и Б. Вот кто. |
Правило 3-е (совершенно необязательное): не наследи!
Мимо.
|
Чич бы сказал: "Жиды". Если бы понял, что, вы подразумеваете нефть и всякое такое... |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1254 |
|
|
|
|
azur:
Для простоты выберем на первоначальной трассе автомобиль с количеством топлива, не хватающим чтобы доехать до следующего.
(В противном случае движение может начинать любой автомобиль, и условие задачи будет выполнено ..)
Убираем это авто вместе с участком трассы, который можно проехать на его топливе. Замыкаем в кольцо оставшийся фрагмент трассы и доказываем для "k-1" автомобилей, и т.д. |
Этот вариант не гарантирует, что следующий "убираемый" вместе с куском трассы автомобиль будет примыкать к убраному ранее. И будут совпадать направления движения. Потому используемая цепочка передвижений автомобилей не будет последовательной. Т.е. можно ехать последовательно 4-5-6-1-2-3 или 5-4-3-2-1-6 (в обратную сторону), а алгоритм выдает что-то вроде 3-5-1-4-2-6
Sad_Donkey:
А можно так. Всегда есть автомобиль на котором можно доехать до следующего. Можно считать, что бензин следующего уже находится на этом автомобиле; а следующий этот - изъять "на минуточку".
Годится? |
Это не гарантирует, что будет выбрана пара автомобилей, бензина которых хватит доехать до третьего.
Если выбирать сразу пару, бензина которых хватит доехать до третьего, то не гарантирует, что бензина 3-х хватит доехать до четвертого. |
|
|
| номер сообщения: 49-2-1255 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| Copyright chesspro.ru 2004-2024 гг. |
|
|
|
